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一、上通哲学、下联生活 在处理具体的问题中总结出方法，并挖掘背后蕴含的丰富的思想，形成看问题的基本观点，观点越深刻，问题越透彻，方能深入浅出。 哲学，是理论化、系统化的世界观，是自然知识、社会知识、思维知识的概括和总结，是世界观和方法论的统一。世界观是人们对整体世界的总体看法和基本观点，方法论是人们认识事物、改造世界的根本方法。
所以数学讲到极致，一定是在讲哲学，教学的艺术在于把深刻的哲学观点，通过具体的教学实例，结合生活，生动形象的讲出。那我们在教学中要不断去挖掘数学内部深刻的思想，上升高哲学层面，形成一些观点，再结合生活，显得亲切自然，从题目到哲学，到生活，再到题目的循环，能想透很多东西。 例.求下列函数的最值 
上述四个问题都可以通过“换元法”转化为二次函数来处理，做完之后，我们就要进一步分析这些题型的共同特征是什么——都是最高次项是另外一项次数的两倍，进一步去挖掘“换元法”背后更为深刻的思想——整体的思想。“换元法”应用的广泛性凸显了“整体思想”的重要性，为什么整体的思想这么重要呢？ 上升到哲学的高度，因为整体的思想凸显了事物的结构，从宏观去把握事物的结构，这是高水平的体现，与只在局部小打小闹有着质的区别。这里面有心理学关于国际象棋的著名实验作为证，给象棋大师和新手看实际比赛的棋局各5秒钟，然后打乱棋子的位置，让他们重新恢复棋局，结果发现大师恢复棋子的数量是20——25个，而新手平均只有6个，那大师是怎么思考的呢？于是又让大师和新手看随机排列的棋局，此时恢复的棋子的数量没有差别，都是平均6个。我们可以得出这样的结论：当棋局随机排列时，大师和新手都把每个棋子当着一个组块，因此恢复出来的数量没有差别，当使用实际比赛棋局的时候，大师的组块包含了更多的棋子。或者我们这样的理解：大师从宏观去把握结构，一块一块的看，而新手是一颗一颗的看，从整体去把握事物的结构，这是水平的体现。下联生活，比如迎面走来一个美女，我们不经意会说：身材真好，眼睛真大，这里面其实就蕴含着看问题的基本观点——宏观看结构,微观抓关键,让学生在笑声中感受到“这么深刻的道理,它原来这么朴素,这么自然,这么贴近生活,我们一不小心,就已经用了，那么我们更应该在数学中反复去体会这些思想.”高中数学从集合间元素的对应关系来定义函数，有利于更加深入地研究函数。初中是从运动变化的观点来定义函数，而运动变化的观点是一种基本观点，哲学中说：运动是绝对的。当我们在实际生活中，我们要从发展的眼光来看问题，同样对于高中很多内容，我们能以运动变化的观点来思考问题，很多会变得很清楚。我们从运动变化的观点来推广了角的概念，从函数的观点来理解方程 ，其实就是让式子中 的x动起来，即取不同的值，就是函数，函数零点的判定定理得来就是给“静止的方程”一个“运动变化的过程”，从过程中来判断和逼近，在某点的导数就是在这一点的瞬时变化率，在一个点上研究是困难的，我们建立导数这个概念关键就是把一个点的变化拓展到了一个范围的变化，然后再逐步逼近，立体几何中的锥体、球体等旋转体都可以看着平面图形绕着某条对称轴旋转而成，相交弦定理和切割线定理通过运动变化，其实就是一个定理，解析几何也是通过直角坐标系把运动变化的观点引入了几何。那我们在教学中应该强化这种基本观点，让学生从运动变化的观点来看问题。三、分类讨论的思想 （一）分类讨论的核心意义：对复杂问题进行分割 对于一个复杂问题，直接很难入手，于是把一个复杂问题分解为若干个基础性问题，通过对基础问题的解答以及综合来实现对整个问题的解决。（二）细化分类讨论原因：形成讨论的意识、培养思维的严谨性 “由数学概念引起的分类讨论”、“由定理、性质、公式的限制引起的分类讨论”、“由数学运算引起的分类讨论”、“由图形不确定引起的分类讨论”、“由参数引起的分类讨论”以及“由实际问题引起的分类讨论”等，细数这些讨论的原因，有助于我们形成讨论的意识和培养思维的严谨性。（三）顺序是分类讨论的关键 一个元素的不确定往往会导致多个相关的要素的不确定。从哪一个入手，先讨论谁，后讨论谁这是难点。比如对于导函数的关键部分是含参的二次函数，一般处理顺序是：
很多时候，确定所有要讨论的东西，找到讨论的分界点，逐段讨论法。 （四）选取有效地减少讨论 能够清楚地讨论，是水平的体现，能够有效的减少讨论是更高水平的体现。分离参数可以直接避免讨论，是我们优先选择的方法，但不等式要注意正负，等式中却要注意定义域，在恒成立问题中，常常借助特殊值缩小参数的范围来减少讨论，正难则反，根据函数的性质减少讨论，也可以把参数的变化化为几何中的运动，从形上突破。选取的标准不一样，分类的方式也不一样，分类只是手段，不是目的，选择合适的切入点，恰当地选择分类标准，减少讨论，甚至避免讨论。不少资料书把二次函数在闭区间的最值分为“动轴定区间”、“定轴动区间”、“动轴动区间”，这是从题型上进行分类，求最值的根本方法单调性和图像法，二次函数的对称轴就是单调性的分界点，无论任何题型都是考察对称轴和区间的关系，比如开口向上的二次函数，最小值可能在端点处和对称轴处取到，所以分为三种情况，而最大值只可能在端点处取到，分为两种情况，以区间的中点为分界线。四、数形结合的思想 数与形是事物的两个方面，对数与形的抽象研究，启发人们从不同的角度去认识事物，把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或把图形性质的研究转化为数量关系的研究，使抽象的数学符号语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来。（一）从“数形转化”的过程中理解 高中教材函数性质的建立，是根据函数的解析式，画出函数图像，根据图像明确函数变化情况，再把这种变化的情况用准确的符号语言来刻画。这经历了由“数”到“形”，再到“数”的过程。而学生最为困难的地方是用准确的符号语言来描述从图像中所获得的直观认识，即从“形”到“数”的转化。解析几何问题的解决经历了从“形”到“数”，再到“形”的过程，最为突出的是：把几何的图形转化为方程，把几何中的结构和元素代数化。所以解析几何集中表现为用代数方法研究几何问题。在高考中，选填题侧重从数到形，解答题考虑到推理论证的严密性，往往从形切入，把形转化为数，当然有时候也需要在数与形之间进行反复的转化。（二）从能力的角度来理解 从数到形与从形到数是两个可逆的过程，但这两个过程的能力要求是不一样的。从数到形要求学生有较好的作图能力，能熟练做出基本初等函数的图像，根据函数的性质以及平移、伸缩、翻折变换做出函数图像，作图不在于形象逼真，在于突出本质结构以及基本元素的关系，“形”会遭遇“不精确”的困惑，这时候需要对关键点的分析以及对函数各种性质的考察。往往通过数量关系去刻画是非常精确的，在面对未知的事物，精确往往表现为局部思考，而形的建立则让学生对整体有了更好的感知；从形到数要求学生用数学符号语言来刻画。五、函数与方程的思想 （一）函数观点 我们说函数重要，并不仅仅是做很多函数的难题，还要有研究函数系统性的方法，要用函数的观点看待很多事物，比如：在一个运动变化过程中，很自然去思考变量间有没有确定的对应关系，用什么样的函数模型去刻画，函数的定义域，值域，具有什么样的性质；在研究最值的时候，构建目标函数是一种基本观点。（二）函数与方程 世界各国都把函数作为中学教学的核心，又各有侧重，“函数与方程”对学生的思维能够进行深度考察，是中国特色。能够用代数变形解的方程是非常有限的，甚至很多方程没有精确解。对于方程，我们要解决如下几个问题：有没有解，有几个解，怎么解。零点存在性定理及推广（介值性定理）对一般的方程“有解”进行判定，单调性和图像法确定根的个数，借助函数的性质研究零点之间的关系，二分法给出了求一类方程近似解的通法，当然也不能忽略从代数变形来解方程的根，不同的函数，零点处理方法也不一样，这些在这一章得到系统性地解读。 六、化归与转化 化归与转化，是指采用某种手段将问题通过变换使之得到转化，进而达到解决的一种方法。而解题就是不断缩小条件和结论差异的过程，事物呈现的方式是多种多样的（质同形异），事物之间又是相互联系的，我们往往把条件和结论不断地“翻译”，寻找成立的充分或必要条件，借助事物之间的联系实现统一。“符号语言、自然语言和图形语言之间的转化”和“事物内在联系的深刻理解”都是基本功，“得到一个命题，思考其不同的表述方式、呈现的方式和充分性、必要性和等价性”是我们经常做的工作，而熟悉化、简单化、直观化是化归的基本方向。对于一些知识，它与那些知识相互联系，以及考察的方式，我们是熟悉的，那么很容易总结出一些转化的模型，比如很多不等式问题，都可以转化为函数的最值问题，而等式则常常转化为方程，进而转化为函数的零点或转化为两个简单函数的交点、值域问题。帮我走得更远的路，就是我们自己总结的套路。三角恒等变换这一章为我们的转化提供了很多的切入点，从“角、式、名、幂”来进行等价变形，但只有变，会迷乱，学好代数变形，核心是方向的把握，并且用最朴素的思想去推动，关键是对充分性和必要性的考察。七、特殊化和一般化 
上面我们看到了初中整式乘法的整个发生和发展在特殊化和一般化中完成了，三角恒等变换公式也是这样产生的。 八、最朴素的思想 我的硕士生导数郑喜印教授把分析学中很多天才才能想到的构造，解读得非常朴素、自然和流畅，也向我们展示了非常精彩的技巧，我时常感觉自己就在数学的世界里遨游，而郑老师就是数学。张起帆教授把数论中很多高深理论的想法和小学进行类比，让我发现数学和语文一样，小学、初中、高中乃至大学很多思想是相同的。“朴素、自然、流畅”是我们追求思维的一种境界，我们也追求技巧，更重要的是让这些技巧在我们思维的世界里显得朴素、自然和流畅。
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