 费马—帕斯卡系统与世界的运转方式惊人地一致，是基本的公理，你真的必须得拥有这种技巧。——查理·芒格 在知识、能力、努力、耐心这些所有的品质中，查理芒格最看重的是理性。查理芒格说：“你必须看到这个世界真实的样子，而不是你以为的样子、或者你希望的样子，只有这样你才能做出正确的选择。”费马帕斯卡系统就是认识真实世界的基本工具。 费马帕斯卡系统是现代概率论的基础，来自一个概率论中的经典问题——点数问题（Problem of points），也叫赌注分配。 达芬奇的数学老师，帕西奥利最早在他的教科书中提到这个问题：说是A和B两个人，筹码相同，玩一种公平的、概率为1/2（类似掷硬币）的游戏。两人约定某个人赢到第10次的时候，游戏结束，赌注全部归胜者。但是游戏如果没有结束，筹码怎么分才合理呢？比如A赢了7次、B赢了6次。应该怎么分？ 早期的两种观点： 1、按赢的次数来分，比如7：6，A拿到7/13，B拿到6/13。 这种分法问题很大，如果A赢了一次，游戏就结束。那么赢的次数是1：0，A赢了一次就拿走全部赌注，那肯定不合适。 2、赌注的分配应该考虑到两人比分的差距和游戏的总盘数。 这个分法有进步，但是也有问题，比如4：1和9：6，比分差距一样，但是区别很大，因为前者变数还比较大，而后者结局已经很明朗了。 直观的感觉是，赢的次数多的理应分得更多，但是具体应该分多少呢？ 后来，费马和帕斯卡通过书信的形式讨论解决了这个问题。事实上，已经完成的赌局盘数不重要，决定胜负概率的是后面应该继续进行的盘数上。总数10盘的（7：5）的局和总数20盘的（17：15），领先者的机会是一样的。所以应该关注的是，剩下需要去完成的盘数。 我们可以把问题简化为：A和B两个人，筹码相同，玩掷硬币游戏。先赢3次赢得全部赌注，假设现在A赢了2次，B赢了1次，赌注该怎么分？ 费马的方法：结束赌局，最多还要2局，结果有四种可能，且概率相等。 A胜A胜 A胜B胜 B胜A胜 B胜B胜 所以，A、B获胜概率分别为3/4，1/4，分配方式应该是3：1。 帕斯卡的方法： 第一局A胜：A得到全部赌注。 第一局A输：两人平分赌注。 两种概率相同。 所以，A、B获胜概率分别为3/4，1/4，分配方式应该是3：1。 当然这是为了方便理解，举了最极端的例子。在通常情况下，帕斯卡给出了一个公式，计算一般情况下的分配方式。  r、s表示各还需要 r 局和 s 局就能赢得最后赌注，那么赌局还需要进行 r s - 1 局就能得出胜负。 公式看不明白也没事，只需要知道这是人类真正拥有了期望这个概念，这就是概率的起点，概率是决策、风险理论的基础工具。  除了这个公式，还有一个更方便的“帕斯卡三角”，这个三角形的“塔尖”是一个1，这一行称为“0”行。下面依次是1、2、3、4、5、6...行。每一行的左右两边数字都是1，每行里的数字是它上面两个数字之和。 我们回到费马和帕斯卡那个抛硬币的赌局里，2：1。最多需要2局结束战斗，所以我们来看第二行。 1 2 1 A赢了2次，再赢1次就赢得整个赌局。那么第一个数字就代表了B赢的概率。 同样地： B赢了1次，再赢2次就赢得整个赌局。那么后面两个数字就代表了A赢的概率。 所以A：B=2 1：1=3：1 再来一个难一点的：先赢10次获胜，A、B分别赢了8次和7次，各还需2次、3次获胜，应该怎么分配？ 还需要（r s-1=2 3-1）4局就能得出胜负，所以看第四行。 1 4 16 4 1 A再赢2次就赢得整个赌局，那么前面2个数字代表了B赢的概率。 B再赢3次就赢得整个赌局，那么后面3个数字代表了A赢的概率。 所以分配方式 A：B = (6 4 1)：(4 1)=11：5 可以看出，帕斯卡的方式方便很多，如果每次按照费马的方式列出所有可能的情况，还是比较困难，而且容易出错。 虽然方式不一样，但是帕斯卡与费马都给出了正确解答。虽然他们在解答中没有明确定义概念，但是，他们定义了使某赌徒取胜的可能性，也就是赢得情况数与所有可能情况数的比，这实际上就是概率。所以概率的发展被认为是从帕斯卡与费马开始的，他们一起为现代概率理论和决策论奠定了基础。 概率是决策、风险理论的基础工具，但是人们不能自然、自动的做到这一点。 如果你们懂得基本的心理学原理，就能理解人们做不到这一点的原因。其实很简单：大脑的神经系统是经过长期的基因和文化进化而来的，它并不是费马—帕斯卡系统，它使用的是非常粗略而便捷的估算，里面有一点费马—帕斯卡系统的元素，但是不精准。—— 查理.芒格 有一个人的经历就可以证明这一点，在费马和帕斯卡同时期有一个好赌又好学的人。他自己也研究概率，有一次他就想，扔4次骰子至少出现1次“6”的概率是多少呢？他想每一次是1/6，四次就是4/6（2/3），远大于50%，果然用这个方法赢了不少钱。后来，他又研究连续2个骰子24次出现两个“6”的概率是多少呢？他想每一次出现两个6的概率是1/36，24次就是24/36，还是2/3，所以又去买，这次输惨了。 后来遇到帕斯卡，他才知道怎么输的，他的计算方式根本就是错的。 连续扔4次骰子至少出现1次“6”的概率： P = 1 -(5/6)^4 ≈ 51.8% 连续扔24次骰子至少出现1次“12”的概率： P = 1 -(35/36)^24 ≈ 49.1% 事实上，想要赢至少得连续扔25次骰子： P = 1 -(35/36)^25 ≈ 50.6% 至此以后，“不可知”变成了“不确定”，“不可知”意味着对未来毫无办法，“不确定”意味着我们可以知道概率从而进行预测，这两者的差异可以说是天差地别。感觉概率在50%左右，和知道概率是50.1%，这两者的差异同样是天差地别。 |
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来自： 张勇敢g2jaebx7 > 《数学》
