概率测度的开始：帕斯卡和费马如何解决骰子问题？

帕斯卡和费马于1654年开始的一系列书信往来，似乎标志着概率论这个数学分支第一次开启了实质性研究。本文详细介绍这件事，有三个原因：

• 第一，这是一次史无前例的研究；

• 第二，它告诉我们，借助等可能情况，某些看似复杂的问题有可能被简化为直截了当的计算；

• 第三，它引入了期望值这个重要概念，期望值是概率论这门学科的主要支柱之一。

帕斯卡和费马解决的这些问题，在概念特色上不同于卡尔达诺和伽利略解决的那些问题。帕斯卡和费马对公平性进行了定义，还对期望值进行了重点研究。

其中有两个问题是帕斯卡的赌友梅内骑士（Chevalier de Méré）提出来的。帕斯卡把这两个问题连同他自己的想法，都通过书信告诉了费马。他们俩是通过梅森学院建立联系的，自从梅森（Marin Mersenne）神父于1635年创建了这家学院之后，包括伽利略、笛卡儿（Descartes）和莱布尼茨（Leibniz）在内的杰出数学家、科学家和哲学家都在这里分享过研究成果。

骰子问题：一名玩家需要在8次抛掷骰子的赌局中掷出一个6 点。此时，投注金额已经确定，这名玩家已经抛掷了3次，但没有一次是6 点。如果从赌注中拿出一定比例的钱给这名玩家，让他放弃第4次的抛掷机会（仅放弃这一次），那么给他多少钱才算公平？

在继续阅读之前，大家可以先考虑一个问题。假设在赌局开始之前，双方约定在8次抛掷中率先掷出6点的玩家可以拿走桌上的10美元，那么给你5美元，让你放弃第4 次投掷机会，你愿意接受吗？这是否公平？

点数问题：两名水平相当的玩家（我们可以假设他们抛掷的是一枚质地均匀的硬币。）正在进行一场多局赌博。每赢一局就可以得到一点。他们一致同意，第一个达到特定点数的玩家获胜，并赢得全部赌注。在进行了若干轮之后，赌局被打断了。此时，如何分配赌注才算公平合理呢？

这两个问题都是围绕公平性阐述的。但是，概率论中的公平性到底指什么呢？我们将会看到，帕斯卡和费马隐晦地利用期望值的概念回答这个问题。

对赌注为V(x)、结果为x的赌局而言，期望值就是概率的加权平均：

期望值(V) = V(x1) p(x1) + V(x2) p(x2) + …

如果玩家对交易的期望值保持不变，就可以视其为公平交易，比如，抛掷质地均匀的硬币。如果是正面朝上，你赢1，反之，你输1。那么，期望值为(+1)(1/2) + (–1)(1/2) = 0。

我们把这个概念应用到骰子问题上。桌上的赌注没有变化，仍然是s。如果该玩家不放弃第4次抛掷的机会，那么他一共还有5次机会。他的期望值为：

（ 第4次赢） （ 第4次输，但在余下的4次机会中赢1次）

费马在信中建议玩家拿走1/6的赌注，然后放弃第4次抛掷的机会。在这种情况下，他的期望值是：

可以看出，两者相同，因此用1/6的赌注作为玩家放弃第4次抛掷机会的收益是公平的。