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无论是建筑结构，还是机械工程，梁的使用是相当广泛的，其地位在之前有提到。不外乎力学显性和计算资源，而梁可以承受的载荷比杆件多得多，除了基础受载，还有组合受载，这意味着应力状态多变，其复杂程度远高于杆件。
材料力学梁结构 材料力学指出，外力作用下以弯曲变形为主的杆件称之为梁。这句话有两个关键点：梁是杆件的一种，梁主要抵抗弯曲变形。一开始就强调这个，因为它决定着后处理操作。如何后处理操作，主要取决于两个问题：分析的目的和力学状态（包括材料性质以及应力状态等问题）。
梁由轴线和横截面组成。根据轴线曲直可以划分直梁与曲梁，由横截面是否沿轴线不变，分为变截面与等截面梁。毫无疑问，最简单的结构为等截面直梁，如一根矩形截面立柱或者空心圆管。还记得我们之前有说过，做分析需要建立适合力学响应的模型，而不一定是极细致的实际模型。我们建立杆件是这么做的：从概念建模下生成线体，然后赋予它圆形截面，最终修改单元。而一般梁的建立与此相差不大，也主要包括概念建模、赋予横截面以及调整截面方向等操作。梁建模不同于梁的在于，它可能存在变截面梁，非等截面是比较麻烦的，其次它的横截面是十分丰富，而非杆件那样仅限圆形。因此，毫无疑问，梁受力比杆件复杂很多。
上图简单展示了常见的梁截面以及梁涉及到的一些基本术语，需要掌握的术语包括轴线（通常说中性轴）、横截面、纵向对称面、横力（通常指与轴线垂直的外力）。上图提到平面弯曲，你可以理解为平面响应分析（刚刚自己起的一个名字）。为什么要提到这个呢，这里写的是平面弯曲，那下次来个平面剪切呢，或者说扭转啥的（不知道是不是存在这个 ）。那是不是要每次都解释一大堆，完全没必要，它的特征就是：激励与响应同处一个面内，所谓面内是指一个二维空间，就是面不会鼓起来。上图中，将带剖面线的面提取来，是不是像一张纸一样，集中载荷F与均布载荷q是作用在这个面的边缘，平行于整个面。两侧支撑条件，这种力学状态下的结构显示为弯曲，故此称为平面弯曲。
梁根据支座是否能够移动，分为可动支座与固定支座；根据梁端是否可绕支点转动，分为可转和固定。大致可以分为如下几类：完全固定、固定铰支座、活动铰支座。
上图总结的十分清楚，第一种对应可动铰支座，约束竖直方向；第二种对应固定铰支，约束竖直和水平方向；第三种对应完全固定，约束所有；第四种对应简单支撑，同可动铰支座一样，约束竖直方向。提到这个，不仅仅是为了回顾知识点，而是要与有限元结合起来，更进一步的思考。 对于有一定学习经验的老手来讲，模拟上面一部分边界时完全没有问题的。可对零基础小白，往往容易犯一些不经意的错误，我个人刚开始学习这个的时候就翻过，下面简单说说一个例子，其实之前的例子里面也详细说过，如果你有仔细注意的话。
公众号之前的例子有讲过一根轴的分析，类似上面这样。左侧为固定铰链支座，右侧为移动铰链支座，或者你认为右侧是简单支撑亦可。对于零基础小白，这个边界条件还是十分明确的，ANSYS的边界里面就有【Simply Support】。如果两端引入远程位移约束，很容易设置为两侧释放旋转就完了。我自己当初学些时候，无意之中就增加右侧的约束，导致轴在旋转时，右侧约束处受到极大的应力。这是因为在平面当中，一个对象具有三个自由度，左侧只能旋转，右侧除了旋转还有移动。当梁受到横向载荷时，梁轴线发生弯曲变形，且轴的右侧有向内收缩的趋势，如果是变形极小时可能这种收缩不明显，但是如果是大变形的时候，收缩就很明显，因此这种边界下的变形不是对称的。 
事实上在我们学习梁刚性的时候，其挠度分为两部分，一部分为横向力方向的，一部分纵向收缩，即我们上面谈到的部分。而由于材料力学的范围局限在小变形，所以横向收缩是极其有限的。所以多数情况下都没有考虑这个收缩的影响。假如是大的变形或者转动，上述边界的错误对结果的影响将会十分显著。 典型梁结构 我们学习的一般逻辑是由简入繁，首先接触的往往是最常见的问题。因此有必要对于常见梁结构做一个简单的总结如下：Simply supported beam（简支梁）
一侧是固定铰链支撑，一侧是活动铰链支座。活动铰链支座与简单支撑效果一样，都只是约束接触位置垂线方向。该梁结构允许水平移动，承受剪应力和弯矩。 
Cantilever beam（悬臂梁） 一侧完全固定，一侧完全放松。这个很容易理解，从名字也能看出，它像手臂一样悬挂在人身体之上。不科学之处在于，这是一根等截面悬臂梁，而人体是端部粗，而远端细，这是有一定的力学道理的。你也可以看看树枝，同样是端部粗，远端细。该梁结构承受剪应力与弯矩作用。
Fixed-beam（固定梁） 两端完全固定，这种结构用在桁架比较多见。该梁结构仅承受剪应力。 
Overhanging beam（外伸梁） 这种是简支梁与悬臂梁的组合，相比简支梁远端有更多的支撑结构。毫无疑问，它同时有悬臂梁与简支梁的属性。
这些是根据支座的情况做的简单划分，你也可以根据平衡方程来划分静定与超静定梁结构，根据材料划分钢结构、混凝土结构、木材结构等，当然还可以根据横截面的不同划分。
材料力学弯曲梁
梁可以受到各种不同载荷作用，如集中载荷、分布载荷、力矩等，产生的效果可以有基本的拉压、弯曲、剪切、扭转，也可以是这些基本 效应的组合情况，例如弯曲和拉伸共同作用。纯弯曲是最基础的效应，是一种比较理想化的状态
上图为一简支梁受到集中载荷作用，通常集中力作用梁会产生剪力与弯矩，如AC和DB段的梁受到剪力作用，这就是横力弯曲或者剪力弯曲作用。而在CD段的梁，仅包含常值弯矩而没有剪力作用。从内力的角度看这个问题，剪力由内部抵抗剪切效果的剪应力作用，而弯矩则由抵抗弯曲效果的正应力作用，在CD段的梁仅存在正应力，而没有剪应力，此称之为纯弯曲作用。
弯曲正应力
通常用纯弯曲实验来研究横截面上的正应力效果，通过观察实验结果做出合理假设，基本实验如下图所示：
在梁的纵向对称面内施加一对集中力偶作用，可以看见原来刻画在横梁表面的纵向线aa与bb发生了弯曲，上侧往里凹陷，下侧往外凸起。而横向线mm与nn仅发生旋转。 针对纯弯曲实验做出假设：平直的横截面在梁发生弯曲以后仍然保持平直（意思是没有翘曲），且垂直于轴线，仅仅是围绕横截面某一根轴线旋转了一定的角度。
根据前面这一堆文字与图片的展示，我们可以思考这么一个问题：中性轴与中性层的合法性。我思考这个问题主要是因为自己比较的懒，不喜欢记忆，希望可以基于实物本身的特征得出结论，而非死记硬背，这一点实在是差得很。整个梁结构从宏观上看是一个连续体的，在纵向对称面内施加一对集中力偶以后发生弯曲，那么在仔细观察纵向对称面的弯曲以后我们可以得出这么一个结论：上侧缩短，下侧延长。上侧要缩短必然是压缩作用下，下侧要延长必然是拉伸作用，也就是上侧为压应力作用结果，下侧是拉应力作用。如果拉伸为正，压缩为负，则由于结构的连续性，中间必然有一根线为0，即既不伸长，亦不缩短。那如果我们再看整根梁，而不是一个纵向对称面呢，既不伸长，又不缩短的线就变成了面。那么这根线长度没有变化，所以它既不受正应力，也不受切应力。而远离这根线要么伸长，要么缩短，都会存在应力。因此它就呈现出图（d）的效果，这个效果呈现的是纵向对称面，将它法向拉伸就会是图（c）的效果。因为拉应力与压应力法向不一致，一般取拉伸为正，压缩为负，所以上述箭头方向是相反的。靠近中间是无应力状态，远离又存在应力，所以它中间箭头低，两边箭头高。可是它为什么是线性变化的呢？（仔细观察箭头发现其长短是线性变化的—高低没有出现波动，而是由小到大或者由大到小）因为其纵向正应变与距离中性轴远近呈正比，σ=Eε，因此纵向正应力与距离中性轴远近呈正比，这个线性系数即为距离值。再来看看横截面上的正应力问题，我们可以像如下思考：在整个横截面上都存在着正应力，而我们上面又考虑的是纵向对称面，也就是对应着横截面中间的一根线而已。将整个横截面的正应力沿着纵向对称面在横截面上侧面投影线进行简化处理，得到一个轴力和弯矩。纯弯曲定义表明，横截面上没有切应力存在，那么目前整个横截面向纵向对称面侧投影线简化以后存在着三种载荷，分别是外载荷力偶矩、正应力简化的集中力、正应力简化的力矩。要满足纯弯曲条件，只能是外载荷力矩与正应力简化力矩数值相等，正应力简化的集中力为0。只有当集中力通过了横截面形心，才能不产生剪切应力作用。所以最终横截面上就是两个矩达到平衡关系，由此得出横截面上的正应力。材料力学给出的计算如下：
该式中M为横截面上的弯矩，y为距中性轴的距离，Iz为对Z轴的极惯性矩。由此也表明了正应力抵抗横截面上的弯矩作用效果。 如果横截面对称于中性轴，则考虑使用如下抗弯截面系数公式计算，分母为抗弯截面系数。要注意一点，抗弯截面系数与截面形状息息相关。
最后一点：材料力学指出实际问题中，一般存在着剪力和弯矩共同作用的剪切弯曲，横截面会发生翘曲。但是对于细长梁（跨高比大于5）而言，横截面上的剪力对横截面正应力影响很小，此时还是用正应力公式计算，只不过弯矩改为横截面最大弯矩，不再是常量：
学到这里我们都知道了什么：纯弯曲跨高比大于5的梁结构，其纵向正应变、纵向正应力分布状态、横截面上存在正应力与切应力，以切应力为主。而这些结论就是作为判断满足要求的梁分析的依据。如纵向正应力分布趋势，上压下拉，即上正下负呈线性变化。横截面正应力靠近截面形心处最小，边缘最大，由内向外扩张。 弯曲切应力 实际状态多半是剪切弯曲，即横截面上既有正应力，亦有切应力作用。给出几种典型截面的弯曲切应力情况，主要是掌握假设条件与应力分布特点。
假设：横截面上任意一点的切应力方向与剪力方向平行；切应力沿矩形截面宽度方向是均匀分布的，即切应力大小与Y值有关，同一Y值切应力大小一样。
矩形截面上剪切应力呈抛物线分布，其中靠近中性轴区域应力高于远端处应力，横截面上下边缘处剪切应力为0。这里结合前面弯曲正应力思考下，正应力是在远离中性轴处，即边缘处取得极大值。正应力极大的区域，剪应力为0；剪应力极大的区域，正应力为0。材料力学指出，矩形横截面上的切应力为横截面平均应力的1.5倍。对于一般的横截面，其最大剪切应力均出现在中性轴上各点处，难怪是为抗剪切而生。 工字形截面梁
观察工字形截面梁的切应力分布，最大切应力与最小切应力差不多相等，分布状态近似呈现矩形。即整个截面上的剪切应力大致相等，近似认为整个截面的剪切应力等于横截面上平均应力。并且从图中可以看出，剪切应力主要由腹板承担，上下翼缘部分图中并没有标注应力，并不是没有承受剪应力，相比较腹板所受而言忽略不计。
假设：AB弦上各点切应力的作用线都经过F点；AB弦上各点切应力的y向分量τy都相等。 计算表明，最大切应力仍然位于中性轴上，即宽度等于2R的位置，此时计算出来的最大剪切应力约等于横截面平均应力的1.33倍。
圆环截面梁
对于薄壁圆筒，即厚度远小于横截面半径，此时可以假设沿着厚度方向（径向方向）剪切应力是不发生变化的（对应图中三条带有箭头的平行线）。材料力学指出：横截面上的最大剪切应力为横截面平均应力的2倍。梁结构发身弯曲时，主要存在两种弯曲：横力弯曲与剪力弯曲。横力弯曲就是一开始提到的平面弯曲，此时梁主要承受正应力。在纵向面内，上压缩，下拉伸，即承受拉压作用。对于纯弯曲而言，横截面仅存在正应力，而没有切应力，并且靠近形心部分正应力为0，远端（横截面边缘）位置正应力达到最大值。 实际结构梁通常是剪力弯曲，即在横截面上存在剪力和弯矩共同作用。那么横截面上就同时存在剪应力和正应力，剪应力抵抗剪力的剪切作用，正应力抵抗弯矩效应。因为同时存在剪力和弯矩作用在横截面上，在考虑横截面的正应力时，根据弹性力学理论，实际的跨高比大于5的细长梁，其剪力对于正应力的影响极小，可以忽略不计。而考虑横截面的剪切效应—剪切应力，同时计入了横截面上的剪力与弯矩效应。 综合上面的分析结果可知：梁结构承受载荷，其主要效应为纵向平面上压下拉，即拉压效果。横截面主要存在正应力，远端极大，形心极小。横截面还存在剪切应力，远端极小，形心极大。故整个结构受到拉伸，压缩，剪切效应。为什么要说这么多，分得如此清楚呢？在学习杆那一章节有个著名的力学试验：低碳钢拉伸和灰铸铁压缩。这个试验告诉我们，同一种材料的拉伸强度和压缩强度可能不同，并且同样的载荷应用于韧性材料与脆性材料会有不同。而我们后面学习结构强度理论（就是各个派别的假说，如何量化结构破坏的因素）时候会提到，不同的材料有不同的结构强度理论适用，不同的应力状态有不同的强度理论。即结构产生了何种效应，直接影响到结构强度判据的使用，因此我们必须清楚外载荷作用下的结构产生了何种效应。梁结构主要力效应为横截面上的拉伸与剪切，为什么不说纵向面呢，因为纵向主要是看形变，而拉压也是可以对照看横截面的，即我们后面学习梁的刚度时主要观察就是纵向面。在横截面内梁发生拉压与剪切，可以对应杆件拉伸阶段学习到的内容，当横截面上的正应力达到材料的某个值，或者剪应力达到某个值，材料即会发生破坏。塑性材料通常发生塑性屈服，脆性材料发生脆性断裂。而脆性材料一般使用的是拉伸（最大拉应力、最大伸长线应变），而韧性材料使用的是剪切（最大切应力、形状改变比能）。
因此综上，对于韧性材料以横截面上的最大正应力达到屈服极限，发生屈服。对于脆性材料以横截面正应力达到强度极限，发生断裂。要注意一点：对于拉伸压缩强度一致的塑性材料，以横截面绝对值最大正应力为标准。对于拉伸压缩强度不同的脆性材料，需要分别计算出横截面上最大拉应力和最大压应力，分别校核。
对于剪切应力而言，通常最大剪应力位于中性轴上各点处。而中性轴上通常仅存在剪切应力，又不存在正应力，故最大剪应力达到屈服极限或者强度极限则认为结构破坏掉。
这一部分为什么如此重要，主要是梁结构的后处理，就问你：梁结构是否发生失效，你需要什么量来判断呢，既可以作为分析目的出发，能让力做到心中有数，又可以让你掌握基本的后处理量。需要注意两个小问题，文中提到：韧性材料，当最大拉应力或者剪应力达到屈服极限时候，即认为材料（结构）发生破坏。这一条需要说明的是，结构产生塑性屈服是否就意味着结构失效呢，达到屈服极限，即剪应力或者正应力等于屈服极限。这个主要看行业标准或者产品要求，亦或者其他准则。如果达到屈服就认为破坏，即不允许有一点屈服效应。但是有些行业或产品结构产生了局部屈服，产品仍然可以有效工作，因为剔除了安全裕度，使得结构整体重量减轻，允许局部屈服是可行的。并且在一些不允许屈服的产品设计中，实际上是允许又少量的屈服存在的，即应力不超过屈服极限一定的百分比，这个是要区别于安全裕度的。细长梁，一般仅需要校核正应力（截面边缘处）；短粗梁不可忽略剪切应力，需要检核剪切应力强度。
支座的处理显然影响横截面上的应力响应，简支梁和悬臂梁它能一样吗，合理安排跨度是十分重要的，要不然为什么会存在跨高比大于5为细长梁这一说法，更有为什么短粗梁要校核剪切效应呢？其实横截面的形状也是极好理解的，前面从分析可见横截面上既有正应力，也有切应力作用，并且两个极值的分布很极端，要么在中性轴，要么在横截面边缘，因此横截面上的材料分布情况对于应力影响是十分重要的。所谓的横截面不同，其实质就是横截面上材料的分布区域发生了变化。为什么工字梁要用于抗弯曲呢，前面的理论分析告诉我们梁弯曲时，其重点在横截面上下边缘，上端受压缩，下端受拉伸。而工字梁将材料分布于上下边缘，充分用来抵抗了拉压效应，故它抵抗弯曲效应比较优秀。那如何对抗剪切呢？剪应力理论分析部分告诉我们，最大剪应力通常分布在中性轴上的点，所以应该把材料堆积在中间是比价合理的。圆环的截面，由于中间是空心部分，没有材料抵抗剪切，因此它剪应力都堆积到了壁厚上面，而对于薄壁圆筒又因为壁厚小（抵抗面积小），因此剪应力通常是很大的。
如果梁根据最大弯矩设计，得到的是等截面梁，比较浪费材料。为了节省材料，我们做成变截面梁，将危险截面做的更加强壮，非危险截面常规设计。因此就出现了上面那些变截面梁，这些梁统称等强度梁。
注：仅记录学习FEM的一个过程，表达的是个人观点与认识，欢迎一起讨论学习。有疑问可以私，本号没有留言功能，无法互动。本人小白一枚，正在努力的路上
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