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这是一道高中数学的函数题，如果不动笔，单凭脑子去思考的话，那是非常烧脑的，因为它非常绕，很容易就被绕进去，出不来了。只有动笔结合动脑，这道题才能比较轻松地解决。我们先来看看这道题是怎么说的吧。 定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x), 且当x∈(0,1]时, f(x)=x^2-x, 则当x∈(-2,-1]时, 求f(x)的最小值. 分析：要知道最小值，就必须知道函数的解析式。那么函数的解析式是什么呢？是f(x)=x^2-x吗？那是x在区间(0,1]上的解析式，不是x在区间(-2,-1]上的解析式。那么这两个解析式会有什么关联吗？ 观察两个区间，可以发现，已知解析式的区间(0,1]向左平移2个单位长度，就会得到要求解析式的区间(-2,-1]。因此我们可以利用题干中所给的等量关系，求当自变量x+2∈(0,1]时的函数解析式, 而此时x就在(-2,-1]上。 将x+2代入f(x)=x^2-x, 得到f(x+2)=(x+2)^2-(x+2)=x^2+3x+2=(x+3/2)^2-1/4. 因为 f(x+2)=2f(x+1)=4f(x), 所以当x∈(-2,-1]时，f(x)=f(x+2) /4=(x+3/2)^2 /4-1/16. 所以f(x)=-1/16是所求的最小值，要注意的是，此时的x=-3/2∈(-2,-1]，否则就取不到这个最小值，就要重新考虑了。接下来组织一下解题过程。 解：f(x+2)=2f(x+1)=4f(x), 当x+2∈(0,1]时, x ∈(-2,-1], f(x)=f(x+2) /4=[(x+2)^2-(x+2)]/4=(x^2+3x+2)/4=(x+3/2)^2 /4-1/16. ∴当x= -3/2∈(-2,-1]时, f(x)= -1/16最小. 这道题还可以利用图像来解决，专门针对选择题或填空题（这道题原先就是一道填空题）。函数的图像如图：  从图像可以直接知道，函数在(-2,-1]上的最小值是在(0,1]上的最小值的1/4。因为当x=1/2∈(0,1]时，f(x)=x^2-x=(x-1/2)^2-1/4的最小值是-1/4，所以函数在(-2,-1]上的最小值是-1/16。 可见，掌握了问题的实质，用图像解决更加简便。这道题讲解可能比解决还要难，如果老黄有哪里分析得不好，请见谅并指正。 |
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