2021年高中数学联赛几何题解答

2021年高中数学联赛于今天早上举行，除了江苏、福建、河南等少数几个省市因为疫情原因推迟考试外，大多数省市参加了此次竞赛。二试的竞赛题目如下。

第二题为几何题，本文写一下本人的思路。

老规矩，先根据题意画出准确的图形，没有

特殊的条件，按部就班画图即可。

然后挖掘图形的基本性质，由平行及切线知

△AMD∼△BAC,由此可以确定AD，即AE长度。

从而可以确定点P，发现PQ//BC,这个倒角不难得到。

下面从结果入手，要证∠QCB=∠BAC,

则∠PQC=∠BAC=∠QMC,

从而只需确定CP,MP,MQ即可确定△CMQ。

其中最麻烦的是CP，由共圆可得

△BCP∼△BAE,从而可以算出CP。

这样本题最自然的思路就是计算了。

具体过程如下：

证明：设△ABC边角为a,b,c;A,B,C.

由AB//DQ得∠QMP=∠AMD=∠A,

由切线得∠MAD=∠B,∠EAB=∠C,

由EBPA共圆得∠BPC=∠E,

由ADPQ共圆得∠MPQ=∠ADM=∠C,

∴△AMD∼△BAC∼△QMP且△BPC∼△BEA,

若DM上Q'满足∠Q'CB=∠A，则同样由正弦定理得到MQ=MQ'，

由同一法Q,Q'重合，即∠QCB=∠A。

此题目结构新颖，初看环环相扣、诸圆林立、难以下手，稍加分析后发现不难计算得证，当然本题应该有几何的方法，不过上述思路应该是最直接而自然的吧。