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清‧项名达《下学葊算书》之共轭勾股形说(7) 上传书斋名：潇湘馆112 Xiāo Xiāng Guǎn 112 何世强 Ho Sai Keung 提要：本文取自清‧项名达着《下学葊算书一》之勾股第六术，主要介绍该书之勾股形之三边算法之不同情况。本文有四题，而此四题之解法皆源自同一模式，其要点为配成一完全平方，经开方后即可求勾股弦之长。 关键词：四因积 长阔较 弦和和 折半 共轭勾股形 以下各题皆取材自《下学葊算书一‧勾股六术‧第六术》。笔者有文已谈及类似题目，名为〈《御制数理精蕴》勾股法之“勾股弦总和较相求法”〉，此文之解题法依《御制数理精蕴》﹝简称为《精蕴》﹞，《精蕴》之解题法迂回，本文之法较直接。 笔者有文名为〈清‧项名达《下学葊算书》勾股“配方术”之一/6〉，本文乃其延续。 注意勾股定理： z2= x2 + y2。下左图为一般之直角三角形图﹝右图为验证数字，各题皆以此三数验证﹞：
在以下各题中，x、y、z为直角三角形三边为未知数，其他字母为已知数。 第六术 〈第五题〉 有股弦和、有弦较较，求勾、股、弦。 解： 题意指有一直角三角形，已知其股弦和，又知其勾股弦之弦较较，求勾、股与弦之长。以下为弦较较之定义： 今弦 = z，第一较字指勾股较 = y – x，第二较字指勾股较与弦之差。较即差。所以弦较较 = z– (y – x) = x – y + z。 今设股弦和z + y = m-------------------------------------------------- (1) 弦较较x – y + z = n -----------------------------------------------------(2) (1) × (2) 得(z + y)(x+ z – y) = x(z + y) + z2 – y2 = mn------------- (3) 从 (3) 可得xm + x2 = mn x2 + xm – mn = 0﹝以勾股定理化简上式及移项﹞ 依公式解得： x = 从 (2) 可得 z – y = n – x z – y = n – 已知z + y = m------------------------------------------------------------ (1) 从 (1) (4) 两式可知z = = y = = 设一勾股形x = 8，y =15，z = 17，若 z + y = 32 及x – y + z = 10，又设三边长为未知数，以m = 32 及 n = 10 代入以上诸式，可得： x = = y = z = 配合预设答案。 《下学葊算书》曰： 法：以股弦和、弦较较相乘为长方积，以股弦和为长阔较，用带纵较数开方算之。四因积，与长阔较自乘相加，开平方得长阔和。和较相加折半为弦和和，相减折半为勾。弦和和弦较较相减折半为股，股减股弦和为弦。 注意以下步骤： 以股弦和、弦较较相乘为长方积，即 (z + y)(x + z – y) = x(z + y) + z2 – y2 = mn， 左方是为“长方积”。 四因积，因即乘，即 4x(z + y) + 4(z2 – y2) = 4xz + 4xy+ 4x2 = 4mn， 长阔较自乘，即 (z + y)2 = z2 + 2zy+ y2 = m2， 以上两式相加，4xz + 4xy + 4x2 + z2 + 2zy+ y2 = (z + y + 2x)2 = 4mn+ m2，注意此式成一完全平方，乃关键之步骤。 开平方得长阔和，即 z +y + 2x = √(4mn + m2) --------------- (5)。 重列 z + y = m是为长阔较----------------------------------------- (1) 相减折半为勾 即 写成 x = 相加折半为弦和和 即 弦和和 z + y + x = 弦较较 x +z – y = n---------------------------------------------------(2) 弦和和弦较较相减折半为股，即 y = 股减股弦较为弦，即 y +z – y = z= m – 即 z = 答案与前相同。 〈第六题〉 有勾弦和、有弦较和，求勾、股、弦。 解： 题意指有一直角三角形，已知其勾弦和，又知其弦较和，求勾、股与弦之长。以下为弦较和之定义： 弦 = z，较指勾股较 = y – x 。和指勾股较与弦之和，所以弦较和 勾弦和 z + x = d-------------------------------------------------------- (1) 弦较和 y – x + z = e ----------------------------------------------------(2) (1) × (2) 得(z + x)(z – x + y) = y(z + x) + z2 – x2 = de----------- (3) 从 (3) 可得yd + z2 – x2= de， yd + y2 = de y2 + yd – de = 0 y = 因为y – x + z = e， 所以z – x= e – y = e – 又因为z + x = d， 从以上两式可知z = = x = = 设一勾股形x = 8，y =15，z = 17，若 z + x = 25 及y – x + z = 24，三边长为未知数，以 d = 25 及 e = 24 代入以上诸式，可得： x = y = z = 配合预设答案。 《下学葊算书》曰： 法：以勾弦和、弦较和相乘为长方积，以勾和为长阔较，用带纵较数开方算之。四因积，与长阔较自乘相加，开平方得长阔和。和较相加折半为弦和和，相减折半为股。弦和和弦较和相减折半为勾，勾减勾弦和为弦。 注意以下步骤： 以勾弦和、弦较和相乘为长方积，即 (z + x)(z – x + y) = y(z + x) + z2 – x2 = de， 左方是为“长方积”。 四因积，即 4y(z + x) + 4(z2 – x2) = 4yd + 4y2 = 4de， 长阔较自乘，即 (z + x)2 = z2 + 2zx+ x2 = d2， 相加，4yz + 4xy + 4y2 + z2 + 2zx+ x2 = (z + x + 2y)2 = 4de+ d2， 开平方得长阔和，即 z +x + 2y = √(4de + d2) -------- (5) 已知 z + x = d------------------------------------------------- (1) 相减折半为股 即 写成 y = 相加折半为弦和和 即 弦和和 z + x + y = 因为弦较和 y –x + z = e-------------------------------------------(2) 弦和和弦较和相减折半为勾，即 x = 勾减勾弦和为弦，即 x +z – x = z= d – 即 z = 答案与前相同。 〈第七题〉 有股弦和、有弦和较，求勾、股、弦。 解： 题意指有一直角三角形，已知其股弦和，又知其弦和较，求勾、股与弦之长。以下为弦和较之定义： 已知弦 = z，和指股 + 勾 = y+ x，较指勾股和与弦之差，所以弦和较 股弦和z + y = f-------------------------------------------------------- (1) 弦和较y + x – z = g---------------------------------------------------(2) (1) × (2) 得(z + y)(– z + y + x) = x(z + y) – (z2– y2) = fg -------- (3) 从 (3) 可得 xf – (z2 – y2) = fg – x2+ xf – fg = 0﹝以勾股定理化简﹞ x2 – xf + fg= 0 依公式解得： x = 从 (2) 可得– z + y = g – x – z + y= g – z – y = z + y = f ----------------------------------------------------------- (1) 从以上两式可知z = = y = = 设一勾股形x = 8，y =15，z = 17，若 z + y = 32 及y + x – z = 6，设三边长为未知数，以 f = 32 及 g = 6 代入以上诸式，可得： x = = y = z = 配合预设答案。 《下学葊算书》曰： 法：以股弦和、弦和较相乘为长方积，以股弦和为长阔较，用带纵较数开方算之。四因积，与长阔和自乘相减，开平方得长阔较。和较相加折半为弦较和，相减折半为勾。弦较和弦和较相加折半为股，股减股弦和为弦。 注意以下步骤： 股弦和、弦和较相乘为长方积，即 (z +y) [–(z – y) + x] = x(z + y) – (z2– y2) = fg， 四因积，即 4x(z + y) – 4(z2 – y2) = 4xz + 4xy– 4x2 = 4fg， 长阔和自乘，即 (z + y)2 = z2 + 2zy+ y2 = f2， 相减，– 4xz – 4xy + 4x2+ z2 + 2zy + y2 = (y + z– 2x)2 = – 4fg + f2， 开平方得长阔较，即 y +z – 2x = √(–4fg + f2) -------- (5) 重列 z + y = f ------------------------------------------------ (1) 相减折半为勾 即 写成 x = 相加折半为弦和较 即 弦较和 y + z – x= 弦和较 y + x – z = g -------------------------------------------(2) 弦较和弦和较相加折半为股，即 y = 股减股弦和为弦，即 y +z – y = z= f – 即 z = 答案与前相同。 〈第八题〉 有勾弦和、有弦和较，求勾、股、弦。 解： 题意指有一直角三角形，已知其勾弦和，又知其弦和较，求勾、股与弦之长。以下为弦和较之定义： 弦 = z，和指股 + 勾 = y+ x，较指勾股和与弦之差，所以弦和较 勾弦和 z + x = d------------------------------------------------------- (1) 弦和较y + x – z = g---------------------------------------------------(2) (1) × (2) 得(z + x)(– z + x + y) = y(z + x) – (z2– x2) = dg -------- (3) 从(3) 可得 yd – (z2 – x2) = dg， – y2+ yd – dg = 0﹝以勾股定理化简﹞ y2 – yd + dg = 0。 依公式解得： y = 从 (2) 可得 z – x = y – g，即： z – x = z + x = d ------------------------------------------------------- (1) 从以上两式可知z = = x = = 设一勾股形x = 8，y =15，z = 17，若 z + x = 25 及y + x – z = 6，三边长为未知数，以 d = 25 及 g = 6 代入以上诸式，可得： x = = y = z = 配合预设答案。 《下学葊算书》曰： 法：以勾弦和、弦和较相乘为长方积，以勾弦和为长阔和，用带纵和数开方算之。四因积，与长阔和自乘相减，开平方得长阔较。和较相减折半为弦较较，相加折半为股。弦较较弦和较相加折半为勾，勾减勾弦和为弦。 注意以下步骤： 勾弦和、弦和较相乘为长方积，即 (z +x) [–(z – x) + y] = y(z + x) – (z2– x2) = dg， 四因积，即 4y(z + x) – 4(z2 – x2) = 4yz + 4xy– 4y2 = 4dg， 与长阔和自乘，即 (z + x)2 = z2 + 2zx+ x2 = d2， 相减，– 4yz – 4xy + 4y2+ z2 + 2zx + x2 = (–x – z+ 2y)2 = d2 – 4dg， 开平方得长阔较，即 – x – z + 2y= √(d2– 4dg) -------- (5) 重列 z + x = d -------------------------------------------------- (1) 相加折半为股 即 写成 y = 相减折半为弦较较 即 弦较较 x + z – y= 弦和较 y + x – z = g------------------------------------------------(2) 弦较较弦和较相加折半为勾，即 x = 勾减勾弦和为弦，即 x +z – x = z= d – 即 z = 答案与前相同。 又项名达发现本题可以另有答案。 若 y = y1 = z1 – x1 = z1 + x1 = d --------------------------------------------------------- (1) 从以上两式可知z1= = x1 = = 设一勾股形之z1 + x1 = 25 及y1 + x1 – z1 = 6，三边长为未知数，以 d = 25 及 g = 6 代入以上诸式，可得： x1 = = y1 = z1 = 所以勾股形三边长为x1 = 10 验算：z1 + x1 = 14 y1+ x1 – z1 = 10 + 10 笔者称根号取正号所得之勾股形为“标准勾股形”，根号取负号所得之勾股形为“共轭勾股形”。 下图左方为本题之标准勾股形，右方为其共轭勾股形，此两名称不能互换，盖共轭勾股形 X1Y1Z1 之勾大于股，与传统之勾股形定义不同，若强调勾必须少于股，则勾股形X1Y1Z1 未算作答案。
若 √(d2 – 4dg) = 0，则标准勾股形即共轭勾股形。例如一勾股形 x = 3，y = 4，z = 5，若 z + x = 8 及y + x – z = 2。即 d = 8 及 g = 2， 代入 √(d2 – 4dg)，可得 √(64 – 4 × 8 × 2) = 0，即标准勾股形即共轭勾股形，或曰无共轭勾股形。 若 √(d2 – 4dg) 为整数，则共轭勾股形三边长亦必为有理数。 以下为《下学葊算书》之原文：
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