【原】求点p(1,0)到直线4x+3y+1=0的距离。

主要内容：

通过两点距离公式、点到直线的距离公式以及向量有关知识，计算点p(1,0)到直线4x+3y+1=0距离的主要步骤。

两点间距离公式计算法：

由直线4x+3y+1=0得该直线的斜率k1=-4/3,

进而得所求点p(1,0)与已知直线垂线LA的斜率k2为：

k2=3/4. 

则垂线LA的直线方程为：

y-0=3/4*(x-1),

即y=3/4*(x-1)+0，

代入已知直线方程，有：

4x+3*[3/4*(x-1)+0]+1=0

16x+9(x-1)+4=0,

求得x=1/5,进而求出y=-3/5,

即垂线与已知直线的垂足D坐标为：

D(1/5,-3/5).

此时p、D两点的距离即为所求点到直线的距离。

d=√[(1-1/5)^2+(0+3/5)^2]

=1.

点到直线的距离公式计算法：

根据解析几何点到直线距离公式，此时有：

d=|4*1+3*0+1|/√(16+9)

=5/√25

=1.

点到直线距离向量计算法：

在直线L上任取一点A，连结PA；在直线L上另取一点B(不同于点A)，把线段AB改写成向量AB,过点P作直线AB的垂线，与AB相交于一点N，则PN=h即为所求的距离。

此时有公式：d0=|向量PA·向量AB|/|向量AB|,

所求距离h=√(|向量PA|^2-d0^2)。

对于本题，设A(0,-1/3),B(-1/4,0),则：

向量AB=(-1/4,1/3),

向量PA=(1,1/3)。

|向量PA·向量AB|

=|-1*1/4+1/3*1/3|

=5/36;

|向量AB|=√[(1/3)^2+(1/4)^2]

=5/12;

则d0=|向量PA·向量AB|/|向量AB|

=(5/36)/(5/12),

=1/3.

进一步求出：

h=√[1^2+(1/3)^2-(1/3)^2]

=1。