【原】2020巴尔干数学奥林匹克预选题 数论组 中文翻译

数论组

1.求所有的正整数, 使得存在, 满足 为正整数.

2.有个孩子举行聚会, 他们围坐成一个圈, 玩传球与拆包裹的游戏. 主人将一个有无限层的包裹放在某个孩子手中, 随后,从开始, 在第轮中,孩子们依次进行如下两个操作:
包裹被顺时针传递个位置;
当前位置的孩子打开一层包裹, 并获得一枚奖章.
那么,为何值时, 每个孩子都会获得一枚奖章?

3.给定整数, 求所有函数, 使得对任意正整数组, 均有被整除.

4.设, 对任意正整数, 定义为严格大于且正因数个数多于的最小正整数.求证: 只有有限个, 使得 成立.

5.对整数以及奇素数, 设表示严格小于 且不能被整除的所有正整数组成的集合,表示的元素个数. 是否存在中所有元素的排列 , 使得可被整除, 但不能被整除?(其中)

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老子在道德经中说：飘风不终朝，骤雨不终日。

这是什么意思呢？按我的理解，飘风和骤雨并不是常见的天气，应该说有一些反常。反常的东西，往往都不能持久，即使是大自然的伟力也是如此。其实不只是天气，在生活中到处都有这样的例子。我们学习数学竞赛，当然也不能免俗。如果逞一时之勇，疯狂刷题，投入大量时间学习，即使短时间内效果很好, 能持续多久呢？也许咬牙苦撑的话，能够持续整个高中生涯吧。但是到了大学，又该怎么办呢？人生很长，只有真正的热爱，才能持之以恒。希望大家更多地培养学生们的兴趣和思考的习惯, 所谓”从事于道者，道者同于道，德者同于德，失者同于失”。