国家级教学名师丘维声：如何按照数学的思维方式学好数学？

丘维声 北京大学数学科学学院教授，博士生导师，首届全国高等学校国家级教学名师，美国数学会《Mathematical Reviews》评论员，中国数学会组合数学与图论专业委员会首届常务理事，“国家教委高等学校数学与力学教学指导委员会”成员，中国高等教育学会教育数学专业委员会第一届副理事长，《数学通报》副主编。长期从事高等代数、解析几何、抽象代数、线性代数、群表示论、数学的思维方式与创新等课程的教学工作（主持的“高等代数及习题”课程曾被评为北京大学优秀主干基础课），从事代数组合论、群表示论、编码和密码的研究。

获奖情况

荣获第一届全国高等学校国家级教学名师奖（2003年），三次被评为北京大学最受学生爱戴的十佳教师（1999年，2001年，2006年），获宝钢教育奖优秀教师特等奖(1997年)，北京市高等教育教学成果一等奖(1997年)等。

编者语：根据北京大学图书馆发布的《2020年阅读报告》，数据显示，丘维声老师名列最受男读者欢迎的作者前五名。

按照数学的思维方式学习数学是学好数学的正确途径。什么是数学的思维方式？数学的思维方式是一个全过程：

• 观察客观现象, 提出要研究的问题, 抓住主要特征, 抽象出概念或者建立模型； 

• 运用解剖麻雀、直觉、归纳、类比、联想、逻辑推理等进行探索, 猜测可能有的规律；

• 进行深入分析, 只使用公理、定义和已经证明了的定理进行逻辑推理来严密论证, 揭示出事物的内在规律, 从而使纷繁复杂的现象变得井然有序。

丘老师和学生们一起座谈交流

“观察——抽象——探索——猜测——论证”是数学思维方式全过程的五个重要环节。 按照数学的思维方式学习数学可以使数学不那么难学, 并且能在学习数学的过程中受到数学思维方式的熏陶和训练, 对于读者从事任何工作都有帮助, 终身受益。

高等代数的概念比较多, 如何才能掌握这些概念, 不至于混淆呢？本教材（指《高等代数》，丘维声著，科学出版社）对于每一个重要概念都从观察客观现象（包括生活中和自然界中的现象, 以及学过的数学中的例子）, 抓住其主要特征, 水到渠成地引出这些概念。 希望读者特别注意我们是如何引出这些抽象的概念的, 这有助于理解和记住这些概念。 要注意概念一旦抽象出来, 就不能停留在引出这个概念的具体例子上, 它包括了这个具体例子, 但更加广泛。 通过证明定理和做习题可以加深对概念的理解。 还希望读者在学习概念时注意跟前面学过的有关概念进行比较, 区分它们。

丘老师在给学生讲授高等代数课程

学习数学要学会提出要研究的问题。 例如, 学习线性方程组不仅要会求出它的解, 而且要提出进一步研究的问题：能不能直接从线性方程组的系数和常数项判断它有没有解？有解时, 解集的结构怎样？

学习数学要学会探索。 本教材在讲定理时不是一开始就写出定理接着进行证明, 而是引导读者对所提出的要研究的问题进行探索, 猜测可能有的命题, 然后进行证明。 如果一开始就写出定理接着进行证明, 那只能训练逻辑推理的能力。 只有首先进行探索, 猜测可能有的规律, 然后进行证明, 才能培养出创新能力, 同时也训练了逻辑推理能力。

丘老师在西安交通大学讲课

学习数学的难点是学会证明。

• 数学的论证只能运用公理、定义和已经证明了的定理进行逻辑推理。 因此首先要掌握公理、概念的定义和已经学过的定理（包括命题、推论、引理、性质、公式等）, 把这些存储在自己的大脑中, 便于随时调用。 

• 证明的关键是要有想法（即思路），本教材在讲重要定理或典型例题的证明时都首先讲出想法, 希望读者注意学习这些想法。 在证明过程中要步步有根据（即根据公理、定义和已经学过的定理）, 不能用“显然”或者看上去好像成立的结论, 也不能用还没有学过的定理（否则有可能产生循环论证）。 

• 在探索的过程中可以采用类比来猜测可能有的规律, 但是在证明过程中不能说“类比某个定理可以得出这个命题为真”。 要注意积累证明方法，学到后面的定理的证明时要注意与前面学的有关定理的证明方法积累在一起，这样在做证明题时可以根据具体情况选择适合当前情况的方法, 不至于让自己的思路局限于刚学到的证明方法。 不要只从概念的定义出发做证明题, 还应当联想并且运用学过的定理或者做过的习题的结论来做证明题。

学习数学要做足够数量的习题, 这样才能深刻理解所学的概念, 才能熟练掌握学过的定理, 才能培养出探索能力, 才能训练出分析问题、逻辑推理的能力。 本教材在每一节都提供了一些典型例题, 供读者阅读和思考, 从中可以学到一些解题思路和解题方法。 希望读者注意积累解题方法。

备注：本文改编自《高等代数》（丘维声 著，科学出版社），感谢丘老师的审定。

提示：如需该书PDF样章或教学进度安排表，请邮件联系王编辑：[e-mail]

编辑推荐

《高等代数》是丘维声教授积四十多年讲授高等代数及相关课程（解析几何、抽象代数、群表示论、数学的思维方式与创新等），以及从事科研工作的经验和心得，深入钻研，潜心思考而写成，凝聚了作者对高等代数课程建设和教学改革的成果。具有以下特色：

1.明确课程主线。国内外传统教材没有明确地提出高等代数课程的主线，《高等代数》则鲜明地突出了“研究线性空间的结构及其态射（即线性映射）”这条主线，科学地安排讲授体系。

2.突出思维能力。按照“观察—抽象—探索—猜测—论证”这一数学的思维方式讲授数学知识，有利于培养学生的创新能力，使学生在学好数学的同时受到科学思维方式的熏陶和训练。

3.独到科学见解。例如本书明确地提出了数域K上一元多项式环和n元多项式环的通用性质，并且把它们运用到研究线性变换的Jordan标准形和有理标准形等课题中，起到了清晰阐述问题的重要作用。

4.代数与几何交融。高等代数与几何有密切联系，这是人们的共识，本书力求使高等代数与几何水乳交融。

5.严谨科学，可读性强。本书自然清晰、深入浅出、水到渠成地引出重要概念，阐述讲解准确、清晰、详尽、严谨。

6.内容精华，配套丰富。每一节均精心配有丰富的例题和习题；书中特别设置“阅读材料”和“小窗口”栏目，介绍高等代数相关知识的拓展或应用，开阔学生的视野；配套有《高等代数习题答案与提示》一书；另外在超星学术视频网站上有本书配套讲课录像。

读者反馈

☆☆☆☆☆全国教学名师丘维声教授的大作，高等代数是首届全国高等学校国家级教学名师获得者，40余载教学与科研之惊艳心得的精品。有系列化系统的完整的关于高等代数的教法思想体系，一个唯一的缺点，就是课程难度。对学生准备的要求不低。——京东网

☆☆☆☆☆专业性挺好的呢，作为高一的学生，看线性代数，我是看不懂的，但是这本书又给我了自信，前因后果写的真的很好了，除了一开头那映射写的太专业，我就直接按分析学里的理解了，但也不影响阅读。——京东网

☆☆☆☆☆复习用书：排版非常合理，显得高等代数浅显易懂，适合自学。——京东网