【原】从一元二次方程的教学看高等代数中的一元多项式理论

笔者近日受邀在一个辅导机构代课,授课面向的对象是八年级学生.由于这批学生的数学基础薄弱(从机构上课第一天的模拟考试可见这一结论),因此辅导机构负责人与笔者商议先为这些学生补习八年级课程内容.从他们所使用的教材来看,八年级下册所学习的课程内容有：

• 二次根式;
• 一元二次方程;
• 勾股定理;
• 四边形;
• 数据的初步分析.

笔者原本打算按部就班先从二次根式开始教学,然而当看到学生的模拟卷第一题做题情况后便改变了自己的计划.第一题题干是:

一元二次方程的两个根是(   ).

有不少同学这道简单的题目都做错了,因此笔者非常不淡定地将课程计划修改为:先教授一元二次方程的解法.如果简单的方程都不会解,那还怎么学习二次函数以及高中数学?

笔者在课堂中极尽所能地将一元二次方程的基本知识点讲解清楚,为学生概括了以下一些基本知识和口诀:

定义	“一、二、整”
解法	“直接开平方法、配方法、公式法以及因式分解法”
根的判别式	三看(一看,二看符号,三看结论)
根与系数的关系	韦达定理

之所以要用口诀进行教学,是因为绝大多数授课学生的基础水平不容乐观.很多看起来很简单的概念和结论,在他们看来也是十分复杂和晦涩的.值得一提的是,笔者在教学的过程中考虑到不同学生的水平参差不齐,为了能够照顾到不同学生的实际需求,在具体开展教学时额外讲解了补充知识点.目的之一也是为了开阔他们的眼界.以下是笔者的一些教学补充要点.

一、与虚数单位

我们知道对于一个一元二次方程

而言,若其的根的判别式时,则该方程没有实数根.的确,这基本上是中学教学的一个固有结论.然而,笔者在此考虑了将"时该方程有复数根"这一“新颖”结论传授给学生.刚开始学生接受这一结论感到十分惊讶也有点不可思议,毕竟这与他们在学校所学习到知识点有很大不同.为了打消他们这方面的顾虑,笔者简单举了一个一元二次方程的例子:

❝

例1：一元二次方程的两个根为,其中满足.

❞

八年级的学生头脑中认定一个数的平方一定是非负数,怎么可能出现复数呢?对此,笔者解释到：在中学阶段接触到的数都是实数,在实数范围内那么一个数的平方自然是非负的.倘若我们像有理数扩大到实数那样对实数再进行扩充,则结果自然是不一样的.对于一个复数来说,它的平方有可能为.

当然学生只是简单知道了这一结论,笔者也并不打算深入讲解,只是点到为止并且劝告学生在答题时还是要写"时,则该方程没有实数根"这一亘古不变的结果.其实,从后面的课堂中,笔者可以感觉出部分成绩不错的同学已经慢慢接受了这一"新颖"结论.

二.完全平方公式与完全立方公式、平方差公式与立方差(和)公式

一元二次方程中十分重要的方法就是配方法.可以说,配方技巧已经是一元二次方程求解的核心.无独有偶,在高等代数的二次型理论里,我们也是将一个一般二次型通过配方的方式化为标准二次型.读者如果细心地对比一下,不难发现二者的共通之处.值得注意的是,一元二次方程中的配方法有赖于完全平方公式,因此学生必须对完全平方公式非常熟悉才行.让人感到意外的是,中学教学里几乎很少介绍完全立方公式和立方和(差)公式,特别是后者更是很少涉及.

❝

例2:（完全立方公式）

❞

❝

例3: (立方和公式)

❞

在写出完全立方公式(“+”的情形)和立方和公式后,笔者引导他们推出另一个完全立方公式和立方差公式.其实这里只需要将替换即可,而不需要再次计算以得出结果.对此,学生给出的反应是:

Figure1:小哥的表情包

三.推广的韦达定理

我们知道一元二次方程的韦达定理是:

❝

韦达定理:若一元二次方程的两个根分别为,则有

❞

关于这个定理,笔者在课堂上为他们展示了一下推导过程,其实也就是用到了一个平方差公式.除此之外，笔者也跟他们说了:一元二次方程的韦达定理可以推广到一元次方程,只不过是大学数学系学生才会学习到的内容.或许是担心学生以为我骗他们,所以笔者下午带了下面这一本书给他们看:

Figure2:陈跃、裴玉峰《高等代数与解析几何》上册

在这本书上册的第四章（多项式）4.6小节里详细地阐述了这一结果,作者先以三次方程的根与系数的关系入手,然后再细致地引出次代数的根与系数的关系,即所谓的推广的韦达定理（详细结果可以参考高等代数教材）.

Figure3: 4.6节三次多项式根与系数的关系

中学阶段比较难以解释的一个结果是:为何一个没有实数根的一元二次方程,按照韦达定理可以写出与系数之间的表达式?为了能够解答学生这方面的疑惑,笔者再次强调了若判别式小于0则两个根是复数根这一事实.用数学语言表述即为:

❝

若,则,同样有

❞

关于这一问题,有一位同学在课堂上反应了过来,笔者认为这样的适当补充是有效果的.当然,教学处理中要适可而止.

其实高等代数中的一元多项式理论可以下放到高中去教，如果我们对数域的要求不是那么高的话。一方面，多项式理论与初等数论联系比较密切，而中学阶段数论知识是作为竞赛方式来考查的；另一方面，如果一个学生对一元二次方程感兴趣的话，那么只要作适当地引导可以让学生较为轻松地接受一元高次方程的相关结果，比如著名的代数学基本定理等结论。学生未必要了解具体的数学语言，他们可能更关心这个结果的浅层含义。如果授课者能够以较为通俗易懂的例子普及大学数学课程的一些知识，想来对引导他们学习高深数学非常有益。