常系数齐次线性方程介绍：为了激发本节讨论的动机，让我们回到一阶微分方程，更具体地说，回到齐次线性方程，其中系数和是常数。这种类型的方程可以通过分离变量或使用积分因子来求解，但还有另一种解法，只需要代数。在说明这种替代方法之前，我们先做一个观察：解得到，其中是一个常数。这个观察揭示了未知解的性质；唯一的非平凡初等函数，其导数是它自己的常数倍，是指数函数。现在是新的解法方法：如果我们将和代入，我们得到 由于对于实数，永远不为零，所以只有当是一次多项式方程的解或根时，最后一个方程才满足。对于的这个单一值，是DE的解。 为了举例说明，考虑恒定系数方程。不需要经过的微分和代入过程；我们只需构造方程并解出。从我们得出是方程的解，其在区间上的通解为。 在本节中，我们将看到上述过程可以为齐次线性高阶DE生成指数解， 其中系数是实常数且。 辅助方程：我们首先考虑二阶方程的特殊情况 其中和是常数。如果我们尝试寻找形式为的解，那么在代入和后，方程（2）变为 与前言中的情况一样，我们可以得出结论，由于对于所有，，显然唯一使满足微分方程（2）的方式是选择作为二次方程的根 这最后的方程被称为微分方程（2）的辅助方程。由于方程（3）的两个根是和，因此与三种情况对应的微分方程（2）的通解有三种形式：
下面我们逐一讨论每种情况。 情况一：不同实数根 在辅助方程（3）具有两个不等实数根和的假设下，我们找到两个解，和。我们可以看到这些函数在整个实数轴上线性无关，因此构成一个基本解组。因此，微分方程（2）在此区间上的通解是 情况二：重复的实数根 当时，我们只能得到一个指数解，即。从二次方程公式中我们可以得出，因为仅当时才有。根据第4.2节，方程的第二个解是 在（5）中，我们使用了。因此，通解是 情况三：共轭复数根 如果和是复数，我们可以写成和，其中和是实数，。从形式上来看，这种情况和情况一没有区别，因此 然而，在实际操作中，我们更喜欢使用实函数而不是复指数。为此，我们使用欧拉公式： 其中是任意实数。从这个公式可以得出 在这里我们使用了和。注意，通过首先相加然后相减（7）中的两个方程，我们分别得到 由于是方程（2）的解，对于任何常数和的选择，选择和分别给出两个解： 而
因此，根据定理4.1.2的推论(A)，最后两个结果表明 和 是方程（2）的实数解。而且，这些解在整个实数轴上构成一个基本解组。因此，通解为 示例1 二阶微分方程求解以下微分方程。 (a) (b) (c) 解：我们给出辅助方程，根和相应的通解。 (a) 从（4）中， (b) 从（6）中，。 (c) . 从（8）中，. 示例2 初值问题求解 解：通过二次方程公式，我们可以找到辅助方程的根为和。因此，根据（8），我们有 应用条件，我们可以从得出。对求导并使用，得到，因此。因此，IVP的解为。在图中，我们可以看到解是振荡的,而随着，, .  两个值得知道的方程其中是实数，在应用数学中很重要。对于，辅助方程有虚根和。通过在（8）中选择和，微分方程的一般解为 另一方面，对于，辅助方程有不同的实根和，因此根据（4），微分方程的一般解为请注意，如果我们选择和，在（10）中，我们得到特解和。由于 和 在轴上的任何区间上是线性无关的，因此的一般解的另一种形式是高阶方程一般来说，要解一个阶微分方程（1），其中是实常数，我们必须解一个阶多项式方程 如果（9）的所有根都是实数且不相等的，那么（1）的一般解为 总结类似于情况 二 和 三 的情况略显困难，因为高于二次的辅助方程的根可以以多种组合出现。例如，一个五次方程可以具有五个不同的实根，或者三个不同的实根和两个复根，或者一个实根和四个复根，或者五个相等的实根，或者五个实根但其中两个相等，等等。当是阶辅助方程的重数的根（即个根等于）时，可以证明线性无关的解为 一般解必须包含线性组合 最后，应记住，当系数是实数时，辅助方程的复根总是成对出现。因此，例如，一个三次多项式方程最多只能有两个复根。 示例3 三阶微分方程求解。 解：从的观察中可以明显看出一个根是，所以是的一个因子。通过除法，我们得到 因此，其他根是。因此，微分方程的一般解为. 示例4: 四阶微分方程求解。 解：辅助方程的根是和。因此，根据情况二，解为 根据欧拉公式，组合可以重写为 在常数重新标记后。类似地，可以表示为。因此，一般解为 示例4说明了辅助方程具有重复复数根的特殊情况。一般来说，如果是具有实系数的辅助方程的重数的复根，那么它的共轭也是重数的根。从个复数解 借助欧拉公式，我们得出结论，相应微分方程的一般解必须包含个实线性无关解的线性组合 我们发现在示例4中，， 有理根当然，解决常系数微分方程中最困难的部分之一是找到大于二次的辅助方程的根。我们可以尝试的一种方法是测试辅助方程的有理根。回顾高等数学中的知识，如果是具有整数系数的多项式方程的有理根（以最简形式表示），那么整数是常数项的因子，而整数是首项系数的因子。 寻找有理根的示例解。 解：要解这个方程，我们必须解三次多项式辅助方程。通过将和代入，得到和的整数因子分别是和。因此，三次方程的可能有理根是 然后，可以通过合成除法等方法测试这些数中的每一个。通过这种方式，我们发现了根和因式分解 应用二次方程公式于，然后得到剩下的两个根和。因此，给定微分方程的一般解为
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