论维特根斯坦对哥德尔定理的评析

数学哲学的基础问题一直是维特根斯坦(以下简称维氏)所关注的核心领域之一，无论是在其早期的《战时笔记》及《逻辑哲学论》、中期的《哲学评论》及《哲学语法》，还是后期的《数学基础研究》和《哲学研究》中，他都尝试着探讨了许多重要的数学基础问题，并提出了一系列重要的见解。在其著作中，维氏密切关注数学哲学的各种论题，其原因就在于他想要了解必然性问题，如数学命题在什么意义上必然为真。在早期的《逻辑哲学论》中，他曾认为必然性或者确定性在自身中显示为重言式，所以对他来说，所有必然性都是逻辑必然性。中期和后期的维氏对哥德尔第一不完备定理(Gdel’sFirstIncompletenessTheorem，以下简称GIT)的评论表明他有了不同的想法:(1)不可能有“是真的但却无法证实的”数学命题;(2)哥德尔式命题p的意义非常值得怀疑;(3)即使能对GIT进行标准的解释，但哥德尔并没有证明这一系统自洽的问题。因为在算术系统中，“无法证实的命题”既是可证的，也是不可证的。

一、维特根斯坦对GIT的评论

从20世纪30年代开始，维氏密切关注数学哲学的各种论题。在《逻辑哲学论》中，他曾认为必然性(或者“确定性”)是自身显示为重言式。所以对他来说，所有必然性都是逻辑必然性。从1929年到1933年期间，维氏持强有限论观点:没有可以无限扩展的事物集，也没有无限的数学领域;因为量化一个无限的数学表达式是没有意义的，如量化哥德巴赫猜想(Goldbach’sConjecture，以下简称GC)、费马大定理(Fermat’sLastTheorem，以下简称FLT)等都是没有意义的。因此，维氏在《哲学评论》中写道:“现在看来，对数的一般性表述似乎是无意义的……如果一个命题不通过任何有限的结果而成为真的，这就等于说它不通过任何结果便成为了真的，因而它不是一个逻辑计算的结果……”［1］§126维氏认为，一个有意义的数学命题，当且仅当我们可以知道其有一种适当的、有效的判定过程，因为:“这里的数学命题只有一种解决方法，命题必然通过其意义表明，我们应该如何证明这个命题是真的还是假的?”［1］§148只有包含可判定的算术谓词时，命题才是有意义的，如果数学命题在算法上不可判定，那么它们也不是真正有限逻辑的总数或结果，因而也不是有意义的数学命题。如“(n)4+n=7”就不是一个有限的逻辑结果，因为表达式“(x)=|x”不能被预设为全部数字。类似的，在量化全称域时也不能说n|n，因为所有自然数并不是一个有限的集合。因此，维氏认为，我们可以在“所有”和“有”之间形成一种形式良好的原则或规则，这是错误的想法，因为公理与命题的唯一相关方式是有适当的判定过程。［2］37“你马上会看到，追问数的对象是没有意义的。尤其是不可能存在无限多的对象。'存在无限多的沙发’='在空间里可能存在无限多的沙发’。”［3］13

因此，维氏认为，对所有数的描述不是通过命题来表征的，而是由归纳来表征的。如关于费马大定理的陈述并不是关于命题或算法的陈述，而是对应于归纳的证明:“除了对费马规则不起作用的数字以外，以一种规则来说，p是穷尽了全体数的序列。……已经有一个规则在那里，但是这与数没有直接关系。数就像是规则的一个不规则的副产品。”［1］§189

如果对无限数学领域进行量化，这只能代表证明的归纳基础和归纳步骤，但由于未经证实的归纳步骤在算法上不可判定，因此在被证明之前它们不是有意义的命题;命题在被证明的同时，也即发明了一种新的演算。如证明在π的扩展式中连续出现4个7，但这种实数运算是不可证明的，所以无论是出现还是不出现4个7，命题都必须遵循排中律，这意味着无论是出现还是不出现4个7，这都是不可判定的，因而是无意义的伪命题。

“当有人提出排中律时，仿佛给我们提出了两种可供选择的图像，并且说其中一种必然符合事实。但假如这些图像在这里是否适用成为问题时，那又该怎么办?……一般认为，在排中律的命题中已经有某种坚实的东西，有某种无论如何也不会引起怀疑的东西。然而实际上，这种同义语的反复同样具有不稳定的意义，与这个问题一样，p还是～p成立。”［4］§11－12因此，中期维氏在评论GIT时写道，这有两种理由来拒绝GIT:

首先，作为数论表达式，如果要量化无限域，那么p在算法上是不可判定的。因此，它不是一个有意义的数学命题。如王浩就认为，“人们可能会说，维氏数学的不足之处是阻碍了他所发展的思想，对于基础数学则更甚，尤为有名的是他关于哥德尔证明的讨论”［5］。然而王浩也说道:“在任何固定的有限范围内或者在一些无限范围内，并没有隐含哥德尔式的建构，这种可能性是不可能实现的。”［6］63

“正如布劳威尔所言，(x)·f1x=f2x的真或假也存在不可判定性的情况，这意味着(x)……是外延性的，我们可以说在所有x中恰巧有某种属性。但事实上，讨论这种情况是不可能的，即在所有的算法中，(x)不可能是外延性的。”［7］§173维氏认为，命题的不可判定性预设了等号两边存在一个隐式的连接，但这种隐式的连接不能用符号来表征，符号之间已经存在的连接也不能进行转换，因为符号是一种思维的产物，其本身不能被思维。如果真有这种隐式的连接的话，那么这种连接必须能够看出来。维氏强调，算法的可判定性在于，我们可以主张任何事物都能够在实践中得到检验，这是一个检验的可能性问题。

中期维氏拒绝GIT的第二个理由是哥德尔所谓的不可判定性命题明显是矛盾的，如p是可证明的，那么“～p”也是可证明的，反之亦然，其结果是导致逻辑命题失去了其有效性。如果一个表达式是不可判定的话，那么它既不是真的也不是假的。在一些实际的演算中，如果一种表达式是不可判定的，那么它就不是一个有意义的数学命题，因为“每种数学命题必须属于一个数学演算式”［8］§376。如果我们假定有另外的一些系统可以对是真的但不可证明的命题p进行自然语言的解释，那么p在罗素系统中则不是可证明的。因此，这导致了维氏在许多场合都认为我们应该“放弃”哥德尔的这种矛盾解释。

在《数学基础研究》(以下简称ＲFM)及《维特根斯坦1939年在剑桥关于数学基础的讲座》(以下简称LFM)中，维氏更加重视他中期的主张，他认为我们是在制造或发明数学———“一个人不能发现数学或逻辑部分之间的任何连接，如果这种连接已经存在但却没有人知道的话”“数学家是一个发明家，而不是一个发现者”［4］§168。后期维氏认为，每种新的数学证明都进一步扩展了数学，我们不是在发现数学真理或数学对象，而是在一点一点地发明数学。

正如维氏在ＲFM中所说:“对计算结果的差异取得一致意见，这是什么意思呢?它一定意味着达到了一种没有差异的计算。如果人们没有取得一致意见，那么其中一个人就不能说另一个人只是在得出另一种计算结果。”［4］§9在早期的《逻辑哲学论》中，维氏认为，唯一真正的命题是一个偶然的命题，我们使用惯例来断言事实的状态。因为只有为真或为假的偶然命题才对应于事实。“如果一种基本命题是真的，那么事物的状态是存在的;如果一种基本命题是假的，那么事物的状态就不存在。”［9］§4．25这意味着只有真实的、真正的命题才是符合真理的。所有其他公认的命题都是伪命题，包括重言式、矛盾式，以及数学方程等。

在中期，维氏认为数学命题并不符合真理，它们只是在形式上或句法意义上为真或为假。维氏把这种数学命题看成发明的真理。只有在一个给定的演算式中，一个表达式才是有意义的命题，一个有意义的表达式当且仅当我们可以有一个适用的、有效的判定过程，即算法是可判定的。

在后期，维氏进一步强化了这一观点。尽管维氏仍然认为可判定性适用于所有有意义的数学命题，但这并不意味着每一个这样的命题都是为真或为假的，而是说通过正确运用相关的判定过程，我们可以让命题为真或为假。维氏强调，证明是在做出新的联结，即使它们不存在这样的联结，我们也可以制造它们。因此，维氏的“真”相当于“被证明”，而“假”相当于“被反驳”。我们可以在数学语境中用如“红”和“绿”取代“真”和“假”，或用“+”和“－”来替代“真”和“假”，而没有任何损失。中期及后期维氏都认为“真”相当于“可证明性”，而“假”相当于“可反驳性”。［10］

二、维氏对哥德尔“命题p”的质疑

如前所述，中期的维氏拒斥可以量化一种无限的数学表达式，包括量化费马大定理这样的表达式。维氏认为，像FLT也不是有意义的算术命题，因为它涉及无限的数学领域。“因为它们不能被假定为全部数字，正如量化普遍命题不能是无限的逻辑产物，所有自然数并不是一个有界的概念。”［7］§126虽然后期维氏没有提出关于量化的明确主张，但毫无疑问的是，他仍然是一个有限论者。维氏在ＲFM中主张，无限序列或无限集只是一种生成的有限扩展的递归规则，无限序列或无限集本身不是无限扩展的。那么无限小数概念是数学命题吗?维氏认为，“无限小数不是系列的概念，但拥有无限扩张的技术。说技术是无限的，并不意味着它不会停止，它只是可以扩展到无法测量;但它缺乏制度性的结束，这并不是结束”［11］II§45。我们说存在有理数的无限集，因为它们是可数的;但不存在无理数的无限集，即使所谓的递归无理数也不是递归可数的。维氏认为，像命题中出现4个7的表达式，当把它们限制在有限系列时，它们是有意义的，这正是维氏中期的立场。当问:“如数字0、1、2……9会出现在其中吗?”［2］81－82维氏认为不可能会有这样的问题。我们只能问，它们是否会出现在一个特定的地方，或者它们是否会出现在10000之内的数字中。在量化无限的数学表达式时，后期维氏的立场与中期的立场似乎没有太大的变化:“现在是不是说一个人若不懂费马大定理的意义就是荒谬的?好吧，人们可能的回答是，当数学家面对这个命题时，他们并不完全是不知所措的。毕竟，他们会尝试用某些方法来证明它;只要他们去尝试各种方法，他们就能理解命题。但这是正确的理解吗?难道他们不能充分理解这一命题就像人们不能充分理解这一命题一样吗?”［11］VI§13维氏对此的回答是，如果我们知道像FLT的命题说的是什么，那么我们就必须知道命题为真的标准是什么。如果我们知道如何确定FLT，那么我们就会知道它的真理性标准;如果我们知道一个适当的判定过程的话，那么我们就会知道FLT是为真还是为假;如果判定过程给出了结论，那么结论之外的其他方面就是假的。［12］

维氏对GIT的评论，尤其是在评论量化无限领域时，他并没有明确解决数学表达式的意义问题。哥德尔定理表明，我们有一个命题p可能属于或不属于罗素系统———或者更准确地说，在某些情况下，如果我们可以证明这个命题本身的话，那么我们也可以证明该命题的否定句法。在ＲFM中，维氏只是隐含地质疑了这样表达式的意义，但这一观点却经常被人们误解。

“数理逻辑入侵数学诅咒通常指的是，现在任何命题都可以用数学符号来表征，这让我们觉得有必要理解它。当然，这种写作方法只不过是对普通文本的模糊翻译。”［11］VI§46在这著名的段落中，维氏讨论了“建构性存在”对比“非建构存在”。“因此，这个问题是说，是否存在一种不是建构的证明，而且是一种真正的证明。也就是说，所产生的问题是:我理解了这一命题'这是……’却不知道在哪里可以找到它?并且这里有两种观点:作为一个中文句子，如果我理解了它，到目前为止，也就是说我可以解释它。但我能做些什么呢?我能做的不是去建构一种证据，而是去理解它的标准。因此，到目前为止尚不清楚是否以及在多大程度上我可以理解它。”［11］VI§46

尽管这时的主张明显比中期的观点更加柔和，但介入的方式似乎没有什么区别。“数学逻辑入侵数学是灾难”，因为我们现在没有任何已知的方法来决定如何准确地使用量词。维氏认为，这种写作方法只不过是普通文本的模糊翻译，即使“存在一个这样的数”和在“所有自然数”之间我们有量词，还是存在含糊不清的问题。从维氏的观点来看，我们并不倾向于使用多个嵌套量词、逻辑运算和算术符号来建构有意义的数学命题。我们相信自己可以建构各种各样有意义的算术命题，这些算术命题量化了无限的自然数，然后与所建构的算术命题一起，从中可以发现哥德尔证明的矛盾。“需要记住的是，这里的命题逻辑是如此建构的，就如在实践中信息没有应用一般。它很可能是说它们完全不是命题，并且人们写下命题是需要理由的。现在如果我们把这些命题添加到另一句子结构中，那么在符号组合中应该如何应用，我们都处于茫然之中，因为单单是句子则不足以给出任何有意义的符号联结。”［11］I§20

正如维氏在《逻辑哲学论》中所论述的重言式和矛盾式的逻辑命题，它们没有丰富的内涵，这意味着关于世界它们什么也没说。即使如“pvq”的简单真值函数，也只不过是一个命题框架，这样的真值函数的变量不是我们可以直接用来断言某些事物的命题，要使它成为一个命题，我们必须用偶然命题来替换p和q。

但更为严重的问题是，在“(x)(Px＆Ex)”的逻辑命题中，我们必须附加另一种像算术句子的结构，那么得到了如(x)(x是一个完美的数量，并且x大于9000000000)。在这种情况下，我们“只有一个句子来回应，但这并不能够给这些符合的联结以任何意义。即使我们提出初等数论的公式，也并不一定意味着我们已经构建了一个有意义的算术命题或数学命题。正如维氏所言:“符号'(x)’及符号'(x)’在数学中肯定是有用的，只要我们熟悉相关的证明技巧。这里所引用的是罗素符号，如果这些符号是开放式的，那么这些旧逻辑概念则是非常具有误导性的。”［11］V§13

此外，维氏还质疑了哥德尔证明的前提。如果命题p是真的但无法证实，那么它必须在两种意义上为真:(1)p是真的，因为在现有的自然数无限集中不存在一个自然数满足正在讨论的关系问题;或(2)p是真的，因为任何的必要系统不可能构造一个自然数来满足正在讨论的关系问题。从某种意义上说，对于任何(1)这样的系统，都存在无穷多个是真的，但却是无法证实的命题。因而维氏坚决反对数学柏拉图主义和数学表达式的无限扩展。在《哲学评论》中，维氏写道:“如果数学在自然科学无限扩展的话，我们永远不能有详尽的知识，在原则上可以假设这个问题是不可判定的，但这却是不可设想的。在真理中，不可能讨论'所有x恰好拥有某种属性’，'(x)……在算术中不能被扩展为支持者’。”［7］§174后期，维氏同样拒斥了柏拉图主义，因为柏拉图主义要么是一个纯粹的真理，要么会导致无穷多的模糊世界。此外，如果我们成功地证明了适当的归纳基础和归纳步骤，那么命题的意义只可能是所有自然数的真;如果命题在某些实际系统中不能被证明，那么在所有自然数中它也不可能都为真。（未完待续）

参考文献：

Hardy,G.H.(1940a).

A9atJrenratician'sApolo}n.Cambridge:CambridgeUniversityPress

Hardy,G.H.(L940b).Ranurnujan.Cambridge:CambridgeUniversityPress.

Hardy,G.H.(1942).RussellarrdtheTrinih.[自费出版]

Hardy,G.H.(1985).L'apologied'unmathematician.D.JullienetS.Yoccoz.Paris:Belin.

哈代(1996).《一个数学家的辩白》(12-62页).李文林等编译.南京:江苏教育出版社.

哈代，维纳，怀特海(1999).《科学家的辩白》(3-80页).毛虹等译南京:江苏人民出版社

尼赫鲁(1956).《印度的发现》.北京:新华出版仕.

数学哲学的基础问题一直是维特根斯坦(以下简称维氏)所关注的核心领域之一，无论是在其早期的《战时笔记》及《逻辑哲学论》、中期的《哲学评论》及《哲学语法》，还是后期的《数学基础研究》和《哲学研究》中，他都尝试着探讨了许多重要的数学基础问题，并提出了一系列重要的见解。在其著作中，维氏密切关注数学哲学的各种论题，其原因就在于他想要了解必然性问题，如数学命题在什么意义上必然为真。在早期的《逻辑哲学论》中，他曾认为必然性或者确定性在自身中显示为重言式，所以对他来说，所有必然性都是逻辑必然性。中期和后期的维氏对哥德尔第一不完备定理(Gdel’sFirstIncompletenessTheorem，以下简称GIT)的评论表明他有了不同的想法:(1)不可能有“是真的但却无法证实的”数学命题;(2)哥德尔式命题p的意义非常值得怀疑;(3)即使能对GIT进行标准的解释，但哥德尔并没有证明这一系统自洽的问题。因为在算术系统中，“无法证实的命题”既是可证的，也是不可证的。

一、维特根斯坦对GIT的评论

从20世纪30年代开始，维氏密切关注数学哲学的各种论题。在《逻辑哲学论》中，他曾认为必然性(或者“确定性”)是自身显示为重言式。所以对他来说，所有必然性都是逻辑必然性。从1929年到1933年期间，维氏持强有限论观点:没有可以无限扩展的事物集，也没有无限的数学领域;因为量化一个无限的数学表达式是没有意义的，如量化哥德巴赫猜想(Goldbach’sConjecture，以下简称GC)、费马大定理(Fermat’sLastTheorem，以下简称FLT)等都是没有意义的。因此，维氏在《哲学评论》中写道:“现在看来，对数的一般性表述似乎是无意义的……如果一个命题不通过任何有限的结果而成为真的，这就等于说它不通过任何结果便成为了真的，因而它不是一个逻辑计算的结果……”［1］§126维氏认为，一个有意义的数学命题，当且仅当我们可以知道其有一种适当的、有效的判定过程，因为:“这里的数学命题只有一种解决方法，命题必然通过其意义表明，我们应该如何证明这个命题是真的还是假的?”［1］§148只有包含可判定的算术谓词时，命题才是有意义的，如果数学命题在算法上不可判定，那么它们也不是真正有限逻辑的总数或结果，因而也不是有意义的数学命题。如“(n)4+n=7”就不是一个有限的逻辑结果，因为表达式“(x)=|x”不能被预设为全部数字。类似的，在量化全称域时也不能说n|n，因为所有自然数并不是一个有限的集合。因此，维氏认为，我们可以在“所有”和“有”之间形成一种形式良好的原则或规则，这是错误的想法，因为公理与命题的唯一相关方式是有适当的判定过程。［2］37“你马上会看到，追问数的对象是没有意义的。尤其是不可能存在无限多的对象。'存在无限多的沙发’='在空间里可能存在无限多的沙发’。”［3］13

因此，维氏认为，对所有数的描述不是通过命题来表征的，而是由归纳来表征的。如关于费马大定理的陈述并不是关于命题或算法的陈述，而是对应于归纳的证明:“除了对费马规则不起作用的数字以外，以一种规则来说，p是穷尽了全体数的序列。……已经有一个规则在那里，但是这与数没有直接关系。数就像是规则的一个不规则的副产品。”［1］§189

如果对无限数学领域进行量化，这只能代表证明的归纳基础和归纳步骤，但由于未经证实的归纳步骤在算法上不可判定，因此在被证明之前它们不是有意义的命题;命题在被证明的同时，也即发明了一种新的演算。如证明在π的扩展式中连续出现4个7，但这种实数运算是不可证明的，所以无论是出现还是不出现4个7，命题都必须遵循排中律，这意味着无论是出现还是不出现4个7，这都是不可判定的，因而是无意义的伪命题。

“当有人提出排中律时，仿佛给我们提出了两种可供选择的图像，并且说其中一种必然符合事实。但假如这些图像在这里是否适用成为问题时，那又该怎么办?……一般认为，在排中律的命题中已经有某种坚实的东西，有某种无论如何也不会引起怀疑的东西。然而实际上，这种同义语的反复同样具有不稳定的意义，与这个问题一样，p还是～p成立。”［4］§11－12因此，中期维氏在评论GIT时写道，这有两种理由来拒绝GIT:

首先，作为数论表达式，如果要量化无限域，那么p在算法上是不可判定的。因此，它不是一个有意义的数学命题。如王浩就认为，“人们可能会说，维氏数学的不足之处是阻碍了他所发展的思想，对于基础数学则更甚，尤为有名的是他关于哥德尔证明的讨论”［5］。然而王浩也说道:“在任何固定的有限范围内或者在一些无限范围内，并没有隐含哥德尔式的建构，这种可能性是不可能实现的。”［6］63

“正如布劳威尔所言，(x)·f1x=f2x的真或假也存在不可判定性的情况，这意味着(x)……是外延性的，我们可以说在所有x中恰巧有某种属性。但事实上，讨论这种情况是不可能的，即在所有的算法中，(x)不可能是外延性的。”［7］§173维氏认为，命题的不可判定性预设了等号两边存在一个隐式的连接，但这种隐式的连接不能用符号来表征，符号之间已经存在的连接也不能进行转换，因为符号是一种思维的产物，其本身不能被思维。如果真有这种隐式的连接的话，那么这种连接必须能够看出来。维氏强调，算法的可判定性在于，我们可以主张任何事物都能够在实践中得到检验，这是一个检验的可能性问题。

中期维氏拒绝GIT的第二个理由是哥德尔所谓的不可判定性命题明显是矛盾的，如p是可证明的，那么“～p”也是可证明的，反之亦然，其结果是导致逻辑命题失去了其有效性。如果一个表达式是不可判定的话，那么它既不是真的也不是假的。在一些实际的演算中，如果一种表达式是不可判定的，那么它就不是一个有意义的数学命题，因为“每种数学命题必须属于一个数学演算式”［8］§376。如果我们假定有另外的一些系统可以对是真的但不可证明的命题p进行自然语言的解释，那么p在罗素系统中则不是可证明的。因此，这导致了维氏在许多场合都认为我们应该“放弃”哥德尔的这种矛盾解释。

在《数学基础研究》(以下简称ＲFM)及《维特根斯坦1939年在剑桥关于数学基础的讲座》(以下简称LFM)中，维氏更加重视他中期的主张，他认为我们是在制造或发明数学———“一个人不能发现数学或逻辑部分之间的任何连接，如果这种连接已经存在但却没有人知道的话”“数学家是一个发明家，而不是一个发现者”［4］§168。后期维氏认为，每种新的数学证明都进一步扩展了数学，我们不是在发现数学真理或数学对象，而是在一点一点地发明数学。

正如维氏在ＲFM中所说:“对计算结果的差异取得一致意见，这是什么意思呢?它一定意味着达到了一种没有差异的计算。如果人们没有取得一致意见，那么其中一个人就不能说另一个人只是在得出另一种计算结果。”［4］§9在早期的《逻辑哲学论》中，维氏认为，唯一真正的命题是一个偶然的命题，我们使用惯例来断言事实的状态。因为只有为真或为假的偶然命题才对应于事实。“如果一种基本命题是真的，那么事物的状态是存在的;如果一种基本命题是假的，那么事物的状态就不存在。”［9］§4．25这意味着只有真实的、真正的命题才是符合真理的。所有其他公认的命题都是伪命题，包括重言式、矛盾式，以及数学方程等。

在中期，维氏认为数学命题并不符合真理，它们只是在形式上或句法意义上为真或为假。维氏把这种数学命题看成发明的真理。只有在一个给定的演算式中，一个表达式才是有意义的命题，一个有意义的表达式当且仅当我们可以有一个适用的、有效的判定过程，即算法是可判定的。

在后期，维氏进一步强化了这一观点。尽管维氏仍然认为可判定性适用于所有有意义的数学命题，但这并不意味着每一个这样的命题都是为真或为假的，而是说通过正确运用相关的判定过程，我们可以让命题为真或为假。维氏强调，证明是在做出新的联结，即使它们不存在这样的联结，我们也可以制造它们。因此，维氏的“真”相当于“被证明”，而“假”相当于“被反驳”。我们可以在数学语境中用如“红”和“绿”取代“真”和“假”，或用“+”和“－”来替代“真”和“假”，而没有任何损失。中期及后期维氏都认为“真”相当于“可证明性”，而“假”相当于“可反驳性”。［10］

二、维氏对哥德尔“命题p”的质疑

如前所述，中期的维氏拒斥可以量化一种无限的数学表达式，包括量化费马大定理这样的表达式。维氏认为，像FLT也不是有意义的算术命题，因为它涉及无限的数学领域。“因为它们不能被假定为全部数字，正如量化普遍命题不能是无限的逻辑产物，所有自然数并不是一个有界的概念。”［7］§126虽然后期维氏没有提出关于量化的明确主张，但毫无疑问的是，他仍然是一个有限论者。维氏在ＲFM中主张，无限序列或无限集只是一种生成的有限扩展的递归规则，无限序列或无限集本身不是无限扩展的。那么无限小数概念是数学命题吗?维氏认为，“无限小数不是系列的概念，但拥有无限扩张的技术。说技术是无限的，并不意味着它不会停止，它只是可以扩展到无法测量;但它缺乏制度性的结束，这并不是结束”［11］II§45。我们说存在有理数的无限集，因为它们是可数的;但不存在无理数的无限集，即使所谓的递归无理数也不是递归可数的。维氏认为，像命题中出现4个7的表达式，当把它们限制在有限系列时，它们是有意义的，这正是维氏中期的立场。当问:“如数字0、1、2……9会出现在其中吗?”［2］81－82维氏认为不可能会有这样的问题。我们只能问，它们是否会出现在一个特定的地方，或者它们是否会出现在10000之内的数字中。在量化无限的数学表达式时，后期维氏的立场与中期的立场似乎没有太大的变化:“现在是不是说一个人若不懂费马大定理的意义就是荒谬的?好吧，人们可能的回答是，当数学家面对这个命题时，他们并不完全是不知所措的。毕竟，他们会尝试用某些方法来证明它;只要他们去尝试各种方法，他们就能理解命题。但这是正确的理解吗?难道他们不能充分理解这一命题就像人们不能充分理解这一命题一样吗?”［11］VI§13维氏对此的回答是，如果我们知道像FLT的命题说的是什么，那么我们就必须知道命题为真的标准是什么。如果我们知道如何确定FLT，那么我们就会知道它的真理性标准;如果我们知道一个适当的判定过程的话，那么我们就会知道FLT是为真还是为假;如果判定过程给出了结论，那么结论之外的其他方面就是假的。［12］

维氏对GIT的评论，尤其是在评论量化无限领域时，他并没有明确解决数学表达式的意义问题。哥德尔定理表明，我们有一个命题p可能属于或不属于罗素系统———或者更准确地说，在某些情况下，如果我们可以证明这个命题本身的话，那么我们也可以证明该命题的否定句法。在ＲFM中，维氏只是隐含地质疑了这样表达式的意义，但这一观点却经常被人们误解。

“数理逻辑入侵数学诅咒通常指的是，现在任何命题都可以用数学符号来表征，这让我们觉得有必要理解它。当然，这种写作方法只不过是对普通文本的模糊翻译。”［11］VI§46在这著名的段落中，维氏讨论了“建构性存在”对比“非建构存在”。“因此，这个问题是说，是否存在一种不是建构的证明，而且是一种真正的证明。也就是说，所产生的问题是:我理解了这一命题'这是……’却不知道在哪里可以找到它?并且这里有两种观点:作为一个中文句子，如果我理解了它，到目前为止，也就是说我可以解释它。但我能做些什么呢?我能做的不是去建构一种证据，而是去理解它的标准。因此，到目前为止尚不清楚是否以及在多大程度上我可以理解它。”［11］VI§46

尽管这时的主张明显比中期的观点更加柔和，但介入的方式似乎没有什么区别。“数学逻辑入侵数学是灾难”，因为我们现在没有任何已知的方法来决定如何准确地使用量词。维氏认为，这种写作方法只不过是普通文本的模糊翻译，即使“存在一个这样的数”和在“所有自然数”之间我们有量词，还是存在含糊不清的问题。从维氏的观点来看，我们并不倾向于使用多个嵌套量词、逻辑运算和算术符号来建构有意义的数学命题。我们相信自己可以建构各种各样有意义的算术命题，这些算术命题量化了无限的自然数，然后与所建构的算术命题一起，从中可以发现哥德尔证明的矛盾。“需要记住的是，这里的命题逻辑是如此建构的，就如在实践中信息没有应用一般。它很可能是说它们完全不是命题，并且人们写下命题是需要理由的。现在如果我们把这些命题添加到另一句子结构中，那么在符号组合中应该如何应用，我们都处于茫然之中，因为单单是句子则不足以给出任何有意义的符号联结。”［11］I§20

正如维氏在《逻辑哲学论》中所论述的重言式和矛盾式的逻辑命题，它们没有丰富的内涵，这意味着关于世界它们什么也没说。即使如“pvq”的简单真值函数，也只不过是一个命题框架，这样的真值函数的变量不是我们可以直接用来断言某些事物的命题，要使它成为一个命题，我们必须用偶然命题来替换p和q。

但更为严重的问题是，在“(x)(Px＆Ex)”的逻辑命题中，我们必须附加另一种像算术句子的结构，那么得到了如(x)(x是一个完美的数量，并且x大于9000000000)。在这种情况下，我们“只有一个句子来回应，但这并不能够给这些符合的联结以任何意义。即使我们提出初等数论的公式，也并不一定意味着我们已经构建了一个有意义的算术命题或数学命题。正如维氏所言:“符号'(x)’及符号'(x)’在数学中肯定是有用的，只要我们熟悉相关的证明技巧。这里所引用的是罗素符号，如果这些符号是开放式的，那么这些旧逻辑概念则是非常具有误导性的。”［11］V§13

此外，维氏还质疑了哥德尔证明的前提。如果命题p是真的但无法证实，那么它必须在两种意义上为真:(1)p是真的，因为在现有的自然数无限集中不存在一个自然数满足正在讨论的关系问题;或(2)p是真的，因为任何的必要系统不可能构造一个自然数来满足正在讨论的关系问题。从某种意义上说，对于任何(1)这样的系统，都存在无穷多个是真的，但却是无法证实的命题。因而维氏坚决反对数学柏拉图主义和数学表达式的无限扩展。在《哲学评论》中，维氏写道:“如果数学在自然科学无限扩展的话，我们永远不能有详尽的知识，在原则上可以假设这个问题是不可判定的，但这却是不可设想的。在真理中，不可能讨论'所有x恰好拥有某种属性’，'(x)……在算术中不能被扩展为支持者’。”［7］§174后期，维氏同样拒斥了柏拉图主义，因为柏拉图主义要么是一个纯粹的真理，要么会导致无穷多的模糊世界。此外，如果我们成功地证明了适当的归纳基础和归纳步骤，那么命题的意义只可能是所有自然数的真;如果命题在某些实际系统中不能被证明，那么在所有自然数中它也不可能都为真。（未完待续）

参考文献：

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哈代(1996).《一个数学家的辩白》(12-62页).李文林等编译.南京:江苏教育出版社.

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尼赫鲁(1956).《印度的发现》.北京:新华出版仕.

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