今年的诺贝尔物理学奖有一个明确的主题：复杂性（complexity）。复杂性的概念是任何人都可以想象的，但它的定义却很难绝对确定下来。复杂性对许多人来说是 "我看到它就知道它是什么 "的典型例子，但仅此而已。是什么让一些东西变得复杂？它是某些潜在过程的复杂性吗？科学家在回答这个问题方面已经取得了进展。他们不仅成功地提出了 "复杂性 "的定义，而且还取得了有意义的结果来量化其行为。在物理学和数学中，复杂性这个词是复杂系统研究的同义词。然而，复杂系统与一个物理系统的 "困难 "没有任何关系。例如，考虑一个单一的、孤立的光子。量子电动力学是用于研究这个物体（光子）的复杂理论，但在这种情况下，我们不是在谈论一个“复杂系统”。相反，复杂系统是一个简单物体相互作用的模型，产生混沌、无序的现象。复杂系统就在我们身边。例如，以我们所呼吸的空气为例。如果我们把每个空气粒子想象成一个单一的粒子，那么，要单独为这些东西的运动建立模型，实际上并不难。只有当我们把它们结合起来时，我们才开始看到一些有趣的现象。最常见的无序系统之一是磁体系统。用相对简单的成分，我们可以建立复杂和令人惊讶的磁性材料模型。复杂系统的特征是什么？现在，我们所说的 "混沌 "或 "无序 "是什么意思？许多哲学家正试图定义这个问题，这里有几个原则。首先，系统的稳定性如何？稳定性指的是一个物理系统的状态对它所处的初始条件的敏感性。物理系统是由方程组所支配的。但是，在大多数情况下，我们只能得到这些方程组的 "一般型式"的解，除非我们插入一些关于初始条件的数据。例如，想象一下台球运动。作为物理学家，我们需要知道台球杆的初始力和方向来预测台球最终的状态。初始条件的微小变化是否会导致最终结果的重大变化。就台球而言，直观的答案是肯定的。同样，如果一个物理系统对其初始条件表现出高度的敏感性，我们可以认为这是一个复杂的系统。你可能以前听说过这个非常著名的关于混沌的“故事”：其次，如果我们把一个物理系统 "放大"，其行为会发生什么变化？在之前的文章中，我谈到过物理规律是如何根据系统的放大程度而弯曲和改变的。特别是，我谈到了重正化的物理学，即科学家如何严格定义不同尺度上的系统的物理学。重正化和简单的伊辛模型（Ising Model）为了了解一些复杂的系统，我将分析让乔治-帕里西（Giorgio Parisi）赢得诺贝尔奖的自旋玻璃模型的一个简化版本。我将使用被称为伊辛模型的东西作为一个的例子。我们会期望一个系统表现出不同的物理特性，这取决于我们是用一个宏观的视角看它，还是用一个微观的视角看它。为了解释这个问题，我将带领大家了解一下基本磁性材料。假设有一个由64个等距的原子组成的网格，如下图所示。假设这些原子中的每一个都有一个与之相关的属性——比如每个原子的'自旋'方向。此刻，'自旋'是一个抽象的概念，用来捕捉原子的方向，目前，除了量化一个系统的严格无序程度外，它没有真正的物理意义。为了简单起见，假设只有两种类型——上旋或下旋，并且我们可以选择任何我们想要的构型，就像下图一样。- 这是一个由原子组成的晶格，每个原子都可以选择 "上 "或 "下 "的方向。例如，可以用标签s_i来标记第i个粒子的自旋。
有了这个设置，我们可以构建与这个系统相关的模型量，这是很重要的。接下来的内容有些模棱两可，但这背后有一个强大的理由。我们知道物理系统喜欢将能量最小化，所以我们需要一种方法来建立一个系统的“能量”模型。我们可以构造一个哈密顿量（Hamiltonian）。由于每个原子都有自旋，我们可能想要“惩罚”附近原子具有相反自旋的构型（无序）。所以当一个特定的构型混合了上自旋和下自旋时，我们应该制定一个能量惩罚。一个这样的模型是如下所示的哈密顿函数。这个哈密顿函数中的第一项是对旋转不一致时的惩罚。它增加了系统中每一对方向相反的自旋的能量惩罚。由于我们选择的晶格包含64个原子，如果它是一个有32个上旋和32个下旋的构型，那么无序性是最差的。另一方面，如果所有的旋转都是向上或向下的，那么就是最 "平静 "的构型。第二项只是为了抵消任何额外磁场的影响。字母J和B分别代表了无序效应和外加磁场的总体大小。这些字母被称为耦合常数，它们衡量我们试图捕捉的物理效应的强度。事实上，这个模型已经与自旋玻璃模型格外相似。我们已经可以提出许多有趣的问题。例如，假设J不是固定的--而是随机的。最小 的能量状态会是什么样子？这不是那么明显。这个问题激发了帕里西在自旋玻璃模型中的对称性破坏方面的许多开创性工作。现在，观察这个晶格中的每一个原子是有点困难的，因为它们的数量实在太多了。因此，我们尝试 "放大，将靠近的原子分组，并在每个位置分配类似于平均复合自旋的东西。一个好的方法是将它们分成一组（如下图所示），然后给每个方块附加一个 "平均 "自旋。例如，如果一个方块中有两个上旋和两个下旋，那么这个方块的平均自旋将是零。这种平均方法就是我所说的 "放大 "系统的意思。这在第一张图中显示。首先，我们将原子分组为四组，然后为每组四个原子分配一个混合值（平均自旋）。现在，我们把问题缩小到只有16个点，而不是64个点。我们可以在这个放大的模型上精确地分配相同类型的物理量和模型，就像我们之前所做的那样！但是，我们不再惩罚自旋差异。然而，我们现在不是对每个原子的单个自旋差异进行惩罚，而是对组本身的自旋差异进行惩罚。现在让我们假设能量形式是相同的，但也许有不同的耦合常数，J和B。如果是这样，物理模型的形状即使在放大后也是一样的，我们就说该系统表现出自相似性。这意味着，在新的模型中，哈密顿函数结构是相同的。然而，新参数J和B可能需要改变，以说明分组的情况。因此，通过 "放大 "系统，我们已经将一对变量从（J，B）→（J'，B'）映射出来。如果我们重复这个过程，我们会发现进一步的演变（J，B）→（J'，B'）→（J"，B"）。弄清这些常数如何演化的科学被称为重正化群。有时，当放大时，物理效应会被淡化。以盒子里的温度为例。有一些直接的、可靠的定律可以成功地预测盒子里的温度，如果慢慢增加里面的原子的压力。我们不需要知道每个粒子之间微妙的量子力学相互作用——这就是当放大时，它们的影响被淡化了。复杂系统则相反。复杂系统从具有相对简单规则的系统中显示出复杂的行为。这与复杂系统有什么关系？它们表现出某种比例不变性。这种现象意味着，当放大系统时，耦合常数J和B实际上并没有改变。因此，在这种情况下，无论我们如何看待它，物理系统看起来都是一样的。这是物质在相变过程中的一个普遍特征，比如从液体到气体。这类系统称为临界点。总结这仅仅是复杂系统的冰山一角。在未来的文章中，我希望能详细介绍帕里西研究的更复杂的自旋玻璃模型。具体来说，我想详细介绍在无序系统中可以找到的各种 "平衡状态"。
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