数学方法 | 代数思维（“数学思想方法导引”第25讲/共36讲）

       第25讲 摘要：代数思维是相对于算术而言的。算术思维着重的是利用数量计算求出答案的过程，这个过程具有情境性、特殊性、计算性的特点。而代数思维就其本质而言是一种关系思维，它的要点是发现(一般化的)关系和结构，以及这些关系和结构之间的关系，代数思维形成过程为从常量跨越到变量的“符号化”过程，从特殊跨越到一般的“形式化”过程，从程序跨越到结构的“结构化”过程，从单一性跨越到双重性的“操作化”过程。初等数学的代数思维常用方法主要包括：代数法、复数法、坐标法。

   在有关几何问题的研究中，我们经常会对某些度量关系中的线段长、角度大小以及面积等采用设定的未知数表示，然后根据已知条件建立相应的关系式，最后采用代数上的恒等变换或解方程给出计算结果，从而确定度量关系。这种不依赖坐标系，用代数知识来研究几何问题的方法叫作代数法。

   运用复数知识解答数学问题的方法，通常叫作复数法。这是一种特殊的代数法。运用复数法解答几何问题，基本思路是从问题的特点出发，画出复平面，选取相应的复数表示形式，根据题设条件，将几何问题转化为复数问题，通过计算与推理，完成对问题的解答。

   通过建立坐标系，设定所给图形上的有关点的坐标和曲线的方程后，将几何问题转化为代数问题，然后运用代数知识求解，再赋予几何意义，从而获得对几何问题的解答，这种解答问题的方法叫作坐标法。运用坐标法解答几何问题主要的三个步骤:

   第一步：选取恰当的坐标系，以便于确定关键点的坐标和关键曲线的方程，并易于计算为原则。例如，可选取图形的对称轴，相交直线和其他特殊直线为坐标轴，定线段的端点、中点以及图形的对称中心或其他特殊点为原点。

   第二步：设定点的坐标与曲线的方程，一般应尽可能地减少参数，并使曲线方程的结构尽可能简单，便于计算与推理。

   第三部：计算与推理。对此，除明确有关概念，熟知有关公式和方程外，还应注意利用所给图形的几何性质。

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