本讲适用于初二、初三,因为我们的奥数讲解主要带着学生学习有深度、新颖、竞赛性的奥数知识和题目,所以只要有课堂上基本的知识储备,都可以一起来学习,相信对你的奥数、数学思维,解题思路都大有裨益。 抖音号 “数学奥数思维拓展” 1059021292,持续更新的相关视频讲解。 一、知识点解析1. 基本知识 如果一个图形,按一定的比例扩大或缩小,然后通过适当的平移、旋转、对称变换,可使之与另一个图形重合,则称这两个图形是相似的。由一个图形变成与它相似的图形时,有如下的不变量: (1)对应线段的比不变; (2)对应角的大小不变; (3)线段平行、垂直的关系不变; (4)点共线与线共点的关系不变。 与面积有关的基本结论: 等积定理:等底等高的两个三角形面积相等, 面积比定理:等底(高)的两个三角形面积的比等于它们对应高(底)的比,两个相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方。 共角定理:共角(角相等或互补)的两个三角形的面积比,等于夹这个角的两边的乘积的比。 共边定理:共边的两个三角形的面积比,等于这边所对顶点到这边的距离比,也等于这边所对顶点到它们的连线(或延长线)与这边的交点的距离比。 2. 基本方法 对于线段成比例的问题,常用如下一些方法: (1)构造平行线,利用平行线截线段成比例定理。 (2)构造相似形,利用相似形的对应线段成比例。 (3)面积法,利用等底(高)的两个三角形的面积比等于对应高(底)的比。 3. 基本问题 证明三角形相似:寻找相等的对应角与成比例的对应边。 求线段(比):将待求线段作为一个三角形的边,通过三角形相似建立比例关系。 证明恒等式:将等式转化为比例式,然后利用相似三角形建立比例关系。 求面积(比):利用相似关系或者利用共边(高)三角形将面积比转化为线段比。 求角度:将待求的角作为一个三角形的内角,通过三角形相似建立角的等量关系。 证平行垂直:通过相似三角形发现有关角的关系,由此计算有关线的夹角。 这部分主要考察学生对相似的了解及掌握。相似是几何部分的重要工具,这部分题型种类繁多,会与其他知识点混合在一起考察,需要一定的空间想象能力和知识基础,要在扎实的基础知识基础上,认真学习,多加练习,让我们在例题和解答中一起学习吧。 二、例题例1
分析:∠A是公共角,所以要证明这两个三角形相似,只需证 对应角相等,或证夹∠A的两边对应成比例。由于“高”可产生相似三角形,从而得到所需要的的比例关系。 证明: 例2 如图,已知D是△ABC的边AB上一点,AD:DB=1:2,∠A=45°,∠ BDC=60°,求证: △CBD ∽ △ABC. 分析:目标的两个三角形有公共角∠B,所以只需证另一对角相等或夹∠B的两条边对应成比例,条件给出了两个特殊角,而能够发挥这两个特殊角作用的是直角三角形,所以应添加辅助线构造出含这两个角度的直角三角形。 解答: 例3 如图,过△ABC的顶点B和C分别作AB、AC的垂线BD与CD,两线交于D,由C作CE⊥AD交AB于E,交AD于F。求证:△ACE∽△ABC. 例4 如图,设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点,且. 若∠BAD+∠BCA=180°,AB=6,AC=5,AD=4,求BC的值。 例5 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AD、AE分别为△ABC的内角与外角的平分线交BC和BC的延长线于D、E.求证:AB2:BE2=CD:CE. 如果你能够在不看答案的情况下就很顺利解决这些问题,那么说明你对相似的掌握已经很透彻,这样的话可以加微信号miaomiao-asd,有更多有意思有深度的题目和讲解可以提供,还可享受一对一线上咨询辅导。关注抖音号“ 数学奥数思维拓展”-1059021292,观看更新的相关视频讲解。 |
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