本文内容选自2021年重庆市中考数学压轴题(A卷),仍然以中点为关键条件,构造辅助线进行求值与证明. 【中考真题】 (2021·重庆)在中,,是边上一动点,连接,将绕点逆时针旋转至的位置,使得. (2)如图2,连接,取的中点,连接.猜想与存在的数量关系,并证明你的猜想; (3)如图3,在(2)的条件下,连接,.若,当,时,请直接写出的值. 【分析】 (1)见角平分线,则往两边作垂直,连接CE,易得△CEF为等腰三角形,进而得到BD=CE=CF=√2FG=√2AF. (2)先猜测CD=2AG,再证明. 遇中点,则倍长,可以考虑用倍长中线,或者构造中位线进行证明结论. 如下图,可以倍长AG,然后得到全等,进而得到AB=EH,∠BAE+∠AEH=180°. 然后考虑证明一对三角形全等即可,即△ACD≌△EHA(SAS). 当然,这样连接也是可以的,方法类似. 当然,中点还可以考虑构造中位线,如下图,延长BA至H,使得AH=AB即可. 如果反过来延长构造中位线,也是可以的. 如果取CD的中点M,再倍长也是可以的. (3)当∠BAC与∠AEC已知时,图形形状确定,易得∠AEC+∠ABC=180°,则四边形ABCE的对角互补,也就是说四点共圆,那么就可以得到∠AEB=∠ACB=30°,在等边△ADE内根据三线合一,可以得到边角关系,进而又得到△CDE为等腰直角三角形,设未知数即可得到所有的边角关系,结论易得. 【答案】 解:(1)连接,过点作于, (2), (3)如图3,连接,与的交点记作点, |
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