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本文内容选自2021年遵义中考数学压轴题,题目中介绍了如何用几何变换中的旋转来解决几何最值问题,非常值得学习。
【中考真题】
(2021·遵义)点是半径为的上一动点,点是外一定点,.连接,.
(1)【阅读感知】如图①,当是等边三角形时,连接,求的最大值;将下列解答过程补充完整.解:将线段绕点顺时针旋转到,连接,.由旋转的性质知:,,即是等边三角形.又是等边三角形,在和△中, △
在△中,当,,三点共线,且点在的延长线上时,
即当,,三点共线,且点在的延长线上时,取最大值,最大值是 (2)【类比探究】如图②,当四边形是正方形时,连接,求的最小值;(3)【理解运用】如图③,当是以为腰,顶角为的等腰三角形时,连接,求的最小值,并直接写出此时的周长.
【答案】解:(1)将线段绕点顺时针旋转到,连接,.由旋转的性质知:,,即是等边三角形,,又是等边三角形,,,,,在和△中,,△,
,在△中,,当,,三点共线,且点在的延长线上时,,即,当,,三点共线,且点在的延长线上时,取最大值,的最大值为. 故答案为:△,.
中,作以为边的正方形,连接,,
四边形是正方形,,,,四边形是正方形,,,,,在和△中,,△,,在中,根据“三角形两边之差小于第三边”, 得,当,,三点共线,且点在的延长线上时,,即,当,,三点共线,且点在的延长线上时,取最小值,最小值是.取最小值的图像如下所示:
为腰,顶点为点,顶角为的等腰,连接,,过点作于点,
,,,,,,在△中,,,,,在和△中,,△,,在中,根据“三角形两边之差小于第三边”,得,即,当,,三点共线,且点在的延长线上时,即,当,,三点共线,且点在的延长线上时,取最小值,最小值是,当取最小值时的图象如如图③中,此时过点作于点,且延长于点,使得,
,又△,,在中,,,,,,,在中,,,,,,以及,在中,,,的周长为.
来自: 牛哲书馆 > 《解题探究》
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