中考数学压轴题分析：正方形半角模型

本文内容选自2021年齐齐哈尔中考数学几何压轴题。以正方形为背景考查半角模型，构造旋转辅助线进行解决问题。属于套路题，难度不大。

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【中考真题】

（2021·齐齐哈尔）综合与实践
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片折叠，使边、都落在对角线上，展开得折痕、，连接，如图1．
（1）　    　，写出图中两个等腰三角形：　    　（不需要添加字母）；
转一转：将图1中的绕点旋转，使它的两边分别交边、于点、，连接，如图2．
（2）线段、、之间的数量关系为 　    　；
（3）连接正方形对角线，若图2中的的边、分别交对角线于点、点，如图3，则　    　；
剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线剪开，如图4．
（4）求证：．

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【分析】

（1）根据轴对称的性质可以得到结论。

（2）易得∠PAQ与图1中的∠EAF的度数相等，本题就是常见的正方形半角模型，可以通过截长补短或者旋转等辅助线方式进行构造与证明，属于套路题。

（3）求比值则找相似，观察图中易得△BAM与△CAQ相似。结论易得，为√2倍的关系。

（4）本题也是半角模型的应用，只需进行旋转即可。此类关键条件就是等腰——等长共点的线段。进行旋转构造直角三角形，由勾股定理得到结论。难度不大。
【答案】（1）解：如图1中，

四边形是正方形，
，，
，都是等腰三角形，
，，
，
，，，
，
，，
，
，
，都是等腰三角形，
故答案为：45，，，，．
（2）解：结论：．
理由：如图2中，延长到，使得．

，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
（3）解：如图3中，

四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
（4）证明：如图4中，将绕点顺时针旋转得到，连接．

，，
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，，
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