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数学教学中，解题是非常重要的环节，学生解题能力的提升对于学业成绩有极大的影响，而在培养学生解题能力的过程中，思维的引导必不可少。 我们不妨将学生的数学思维看作一棵小树，当我们不断用数学知识去浇灌的同时，也需要对其成长过程进行引导，防止其长偏，只有坚持用正确的解题价值观去影响，学生最终才能有最大收益。 以解数学题的过程为例，总体上分为读题、构思、解答、验证四个环节，读题和构思这两个环节往往也会合二为一，经过这个环节，题目信息输入到学生大脑，再经过后一个环节处理，形成解题思维，然后在解答环节用规范的数学格式解答，最后验证结果。在这个过程中，读题阶段的引导非常重要，在初中阶段，教会学生读题十分不易，信息摄入准确无误，后面一系列解题环节才有可能正确进行下去，下面以一道无锡市中考填空题为例。 题目 如图，□OABC的顶点A，C分别在直线x=1和x=4上，O为坐标原点，则对角线OB长的最小值为______________.  一、初读现分歧 对于平行四边形的性质，多数学生都非常熟悉，往往张口就来，平行四边形对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分等，然而本题中到底需要用到其中的哪些，有待后续条件跟进； 点A，点C在直线x=1和x=4上，关于这个条件，学生们的理解是点A和点C的横坐标是固定的，分别是1和4，理解到这个程度，暂时够用，至于为什么说暂时，下文分解； O为坐标原点，这个条件最容易被忽视，它意味着点O是定点； 对角线OB长的最小值，这是关键条件，首先它说明了OB是对角线，其次OB的长度在不断变化，并且还存在一个最小值； 第一种思路：由于x=1和x=4在图中是一组平行线，并且分别经过点A和C，所以就有学生认为它们将平行四边形分割成了两个全等的三角形和一个新的平行四边形，如下图：  然后，就茫然了，出现了思维断点； 第二种思路： 受“最小值”三个字的启发，想走解析法的路子，毕竟这是在平面直角坐标系中，所以过点B向x轴作垂线，如下图：  在Rt△OBH中，OB作为斜边，理应可以用勾股定理表示出来，但设BH为x之后，OH没办法用含x的代数式表示…… 然后又想到了设点A纵坐标为m，企图表示出平行四边形各点坐标，再利用两点距离公式表示出OB的长，结果在表示点C纵坐标时就遇到了困难，毕竟点C的运动与点A的运动看上去没什么关联，新增一个参数n，又没办法求最值，于是又陷入了“死胡同”； 第三种思路： 注意到了“对角线”三个字，于是想到了平行四边形对角线互相平分，连接AC，与OB交于点G，如下图：  找到了更多的全等三角形，并且OB=2OG，要求OB的最小值，只要让OG变得最小即可，那OG什么时候最小呢？苦思良久，无以为继； 二、“黑玉断续膏” 以上三种思路都来自于未能在第一时间解答出来的学生，当然也有在短时间内迅速完成了的，本次采样的多数学生属于以上三类，他们的共同点是讲过之后，一片哗然，原来如此简单，但在出示题目后的3分钟内，并没有成功找到思路，所以这些学生的思路如何“续传”，比较有代表意义。 尤其是第三种思路的学生，已经很接近正确思路了，稍加点拨，便可奏效。 方法一：依然从动点本源分析，平行四边形OABC的四个顶点中，只有点O是定点，这一定要注意！其余三个顶点为动点，但却又有关联，第二种思路的学生其实有一处看得比较准，便是动点“源头”是点A和点C，他至少找对了一半，其实点A和点C的纵坐标压根就没关联，这从题目中“顶点A，C分别在直线x=1和x=4上”就已经明示了，将这两个点纵坐标分别设参，过于麻烦了。 然而第一、二种思路的学生，是可以引导到正确思路上的，发现了一对全等三角形，则点O到直线x=1的距离，等于点B到直线x=4的距离，利用全等三角形的对应高相等可证； 而直线x=1和x=4之间的距离是个定值3，如下图：  上图中这三段距离，不正好是第二种思路中Rt△OBH的那条直角边OH吗？对于Rt△OBH，斜边大于直角边，那OB什么时候最小呢？当然是和直角边OH重合时，于是得到正确的结果，OB最小值为5； 更进一步，这三段距离合起来，就是点B到y轴的距离，即点B始终距离y轴5个单位，在直线x=5上，这又归于方法二的思路上了； 方法二：把第三种思路也“带起飞”，由平行四边形对角线互相平分，可得交点G，它是AC的中点，如下图：  前面已经知道点A和点C的横坐标分别是1和4，于是点G的横坐标为2.5，即它在直线x=2.5上，此时留意到线段OG，端点O为定点，端点G在直线x=2.5上，于是联想到点到直线的距离，定理“垂线段最短”派上用场了，当OG垂直于直线x=2.5时，即当点G在x轴上时，OG最短，此时OG=2.5，于是OB=5； 继续探究，由于OB=2OG，既然点G在直线x=2.5上，那么点B就一定在直线x=5上，这又与方法一后面的进一步结论吻合了，若分别过点G、B向x轴作垂线，又成了中位线构图，正应了那句“殊途同归”。 三、命题当如是 这是一道好题，在我看来，一道好题的标准是能启发思考，不仅让学生思考，更让老师思考。 从学生角度，此题包含了平行四边形性质、全等三角形性质、直角三角形性质、平行线间的距离、点到直线的距离、两点距离、三角形中位线等知识点，事实上无论学生从已知条件中的哪个方面入手，最终都有可能胜利抵达终点，只是难易程度不同而已。 从老师角度，此题考查几何知识点较为开放，设置了多条思路供学生选择，并且每一条路都有各自的精彩，以及相应的障碍，作为一道填空压轴题，非常优秀！ 自2020年宜昌中考数学新增填空题之后，对填空压轴题的研究也排上日程，但是2020年的宜昌填空题，并不存在压轴一说，只是简单将原先的选择题改造成填空题，形似神不似，同时涉及到对数学概念的深度挖掘还不够，这也是今后待改进的地方。 |
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