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直角三角形 【阅读与思考】  直角三角形是一类特殊三角形，有以下丰富的性质: 角的关系:两锐角互余； 边的关系:斜边的平方等于两直角边的平方和； 边角关系:30°所对的直角边等于斜边的一半. 这些性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面.在现阶段，勾股定理是求线段的长度的主要方法，若图形缺少条件直角条件，则可通过作辅助垂线的方法，构造直角三角形为勾股定理的应用创造必要条件；运用勾股定理的逆定理，通过代数方法计算，也是证明两直线垂直的一种方法。 熟悉以下基本图形基本结论:  【例题与求解】       【解析】 在方格纸中，设网格边长为1，则AC=v10，BC=v5，AB=5，根据余弦定理进行求解即可. 【点评】 本题考查了余弦定理的应用，属于基础题，熟记余弦定理是解题关键.    【解析】 根据三角形内角和定理求出∠DCP=30°，求证PB=PD；再根据三角形外角性质求证BD=AD，再利用△BPD是等腰三角形，然后可得AD=DC，∠ACD=45°从而求出∠ACB的度数. 【点评】 此题主要考查学生三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识点，综合性较强，有一定的拔高难度，属于难题. 【解析】 过E作EG⊥AB于G，由△ABE为等边三角形得到BG=1/2AB，∠ABE=∠BEA=∠EAB=60°，AE=AB，Rt△ABC中根据30°所对的边等于斜边的一半得到BC=1/2AB，则AG=BC，然后根据直角三角形全等的判定方法得到Rt△EAG≌Rt△ABC(HL)，则EG=AC；再由△DAC为等边三角形，则AC=AD，∠DAC=60°，可得到EG=AD，∠DAF=30°+60°=90°，根据全等三角形的判定方法可证得△EFG≌△DFA，可有EF=FD. 【点评】 本题考查了全等三角形的判定与性质:有两组角分别相等，且其中一组角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等;全等三角形的对应边相等.也考查了等边三角形的性质以及含30度的直角三角形的性质. 【解析】 将△ADB以D为旋转中心，顺时针旋转60°，使A与C点重合，B与E点重合，连接BE，根据旋转的性质得∠ABD=∠CED，∠A=∠ECD，AB=CE，DB=DE，易得△DBE为等边三角形，则DB=BE，根据周角的定义和四边形内角和定理得∠ECB=360°-∠BCD-∠DCE=360°-∠BCD-∠A=360°-(360°-∠ADC-∠ABC)=60°+30°=90°，则△ECB为直角三角形，根据勾股定理得EC²+BC²=BE²，利用等线段代换即可得到结论. 【点评】 本题考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理. 【A级能力训练】 【解析】 首先利用勾股定理逆定理判断△ABD是直角三角形，∠ADC=90°，然后再利用勾股定理计算CD长即可. 【点评】 此题主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形.必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断. 【解析】 延长AD到E，使DE=AD，连接BE.先运用SAS证明.△ADC≌△EDB，得出BE=13.再由勾股定理的逆定理证明出∠BAE=90°，然后在△ABD中运用勾股定理求出BD的长，从而得出BC=2BD. 【点评】 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，综合性较强，难度中等.题中延长中线的一倍是常用的辅助线的作法. 【解析】 设△ABC中，∠A=30°，因为题意表述有一边是另一边的2倍，没有具体指出哪两条边，所以需要讨论: ①a=2b，利用大边对大角的知识可得出∠B<∠A，利用不等式可表示出C的角度范围； ②b=2c，利用大边对大角的知识可得出∠C<∠A，利用不等式可表示出B的角度范围； ③c=2a，利用直角三角中，30°角所对的边等于斜边的一半，可判断∠C为90°.综合三种情况再结合选项即可做出选择. 【点评】 本题考查三角形的边角关系，解答本题需要掌握在三角形中“大边对应大角”，及直角三角形的性质:在直角三角形中30°所对的边为斜边的一半，难度较大，注意分类讨论. 【解析】 以AC、AB、BC为斜边的三个直角三角形的面积分别1、1、1/2，因此△ABC的面积为3/2；用勾股定理计算AC的长为v5，因此AC边上的高为3/5v5. 【点评】 此题首先根据大正方形的面积减去三个直角三角形的面积计算，再根据勾股定理求得AC的长，最后根据三角形的面积公式计算. 【解析】 首先证得△ABE≌△CAD，得∠ABE=∠CAD，又∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，所以∠BQP=∠ABE+∠BAQ=60°，所以，在直角△BPQ中，∠QBP=30°，即可证得。 【点评】 本题主要考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质，考查了学生综合运用知识解答问题的能力. 【点评】 本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理及平方差公式的形式. 【解析】 分当∠AOC=∠ACO、∠OAC=∠OCA、∠AOC=∠CAO三种情况，分别利用等腰三角形的性质，求得a的值，可得结论. 【点评】 本题主要考查一次函数和等腰三角形的知识，属于基础题. 【解析】 (1)因为折叠前后∠DBC=∠DBC'，且因为平行，内错角相等，所以∠DCB=∠ADB，所以根据角之间的等量代换可知DE=BE； (2)要想求出三角形BED的面积，根据题中条件，只要求出三角形AEB或者EDC'面积后，利用求差的办法即可求得△BED的面积. 【点评】 综合考查图形的折叠问题，以及勾股定理的应用. |
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