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教材中借助4个全等的直角三角形，通过斜边朝内或斜边朝外，摆拼成一个大的正方形，利用面积不变性原理，推导出勾股定理。   赵爽弦图的动态展示： 赵君卿的证明方法：利用面积不变性，可以得到左右两图的黄色部分的面积相等，即a^2+b^2=c^2.   基础问题：  解法分析：①由题意可知，没有确定斜边，若4是直角边，则第三边长为5；若4是斜边，则第三边长为√7；②由题意可知，第三边上的高可能是形内高也可能是形外高。如图，当8是形内高时，BD=15,CD=6，则第三边BC长为21；当8是形内高时，此时第三边长为9.  对于问题①，要看清题目中是否指明直角或斜边；对于问题②，要根据题意画出图形，确定三角形的高在形内还是形外。 基础问题针对性练习：  变式问题：  解法分析：由题意可知，点P可能在线段BC或其延长线上。根据题意画出图形后，可以利用等腰三角形的三线合一性质，过点A作BC垂线，利用这条性质以及勾股定理综合求出AP的长。  变式问题针对性练习：  解法分析：由题意可知，还是利用分类讨论的思想，两次利用勾股定理(即在直角三角形ABQ与APQ中)，将所有线段用AB、AP、CP和BP表示。  勾股定理背景下的翻折问题，其图形背景往往是矩形，利用轴对称的相关性质，将所有线段转化到一个直角三角形中，借助勾股定求解。 解法分析：本题的背景是勾股定理，解题的关键是将相关线段转化到一个三角形中，利用勾股定理解题。本题的第1问在直角三角形BCM中利用勾股定理求解；本题的第2问利用平行+等腰，得到MF是∠CMB的角平分线，由此过点F作BM的垂线，构造全等三角形。本题的第3问考虑特殊情况，即BM//l的情况。 解法分析：本题的背景是勾股定理，解题的关键是将相关线段转化到一个三角形中，利用勾股定理解题。本题的第1问利用余角的相关性质证明垂直；第2问将线段转化到直角三角形ADH中，利用勾股定理求解，特别的，由于0<y<3，继而确定定义域的范围；第3问构造全等三角形，用含x的代数式表示bc的长度，继而求出x的值，代入2中的解析式，求出ch的长。< p=""> 本题的第三问由一组等角和一组等边联想到过点D作垂线，构造全等三角形。 勾股定理是直角三角形中重要的解题工具，尤其当题目中出现“翻折”时，能够联系将线段转化到一个直角三角形中，建立数量关系。当已知直角三角形任意两边时，可以借助勾股定理求出第三边。对于角平分线、垂直平分线这些特殊背景，也可以通过做垂线构造直角三角形，利用勾股定理解题。 |
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