解直角三角形

解直角三角形   

  解直角三角形

 

［学习目标］

  1. 掌握直角三角形中的边角关系

    （1）三边之间的关系         （勾股定理）

    （2）锐角之间的关系        

    （3）边角之间的关系         锐角三角函数

   

  2. 理解解直角三角形的概念：直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角。由直角三角形中的两个已知元素（直角除外且其中至少一个是边），求出其余未知元素的过程，叫解直角三角形。

  3. 明确解直角三角形四类基本问题的方法

    （1）已知斜边和一直角边（如斜边c，直角边a），由

    求A，进而

    （2）已知斜边和一锐角（如斜边c，锐角A），

   

    （3）已知一直角边和一锐角（如a，A），

   

    （4）已知两直角边（如a，b），，由，求A。

    进而

  3. 掌握解直角三角形的思路

    （1）当已知或求解式中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，就应用正切或余切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求解时，则取原始数据，忌用中间数据。

    （2）当已知直角三角形中中线、高、角平分线、周长、面积等时，一般将这些元素转化为三角形中的元素或元素间的关系式，再通过解直角三角形的基本方法进行求解。

  4. 理解掌握直角三角形中边、角之间的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。

 

［学习重点、难点］

    本节重点是在归纳直角三角形中边、角关系的基础上，利用这些关系式和上节概念解直角三角形。并利用三角形，四边形与解直角三角形的联系解实际问题。

    难点是对解三角形方法的灵活选择应用。

 

【典型例题】

  例1. 如图，在中，，求BC的长。

    解：过A作于D

    在中，

   

   

    中，

   

    点悟：过A作于D点，形成直角三角形来解题。

 

  例2. 已知：如图，中，，于点D，交AB于点E，，连结CE。求的周长。

    解：

    为等腰直角三角形

   

   

    在和中，

   

    又

    的周长

                 

    点悟：此题图形虽然较复杂，但所出现的四个三角形均为直角三角形，且有两个为等腰直角三角形，用逐一推理方法，不难求出的三边，于是可求其周长。

 

    例3. 一个三角形的两边长分别为3cm和12cm，夹角为，和它面积相等的等腰直角三角形的斜边长是多少？

    解：设等腰直角三角形的直角边长为xcm，则由题意，

   

    由勾股定理，得斜边长

    等腰直角三角形的斜边长为6cm。

    点悟：本题利用了很重要的面积公式，即“”。

 

  例4. 在中，，，求AB和。

    解：作，并与BA延长线交于D

   

    在中，

   

    在中，，

    由勾股定理

   

   

   

    点悟：由题意，可作的补角，做垂线，构造直角三角形是转化求解的关键。

 

  例5. 已知，如图在四边形ABCD中，，，求AC的长。

          

     （1）                （2）                          （3）

    解：解法1，图（1）延长AD，BC相交于E

   

    在中，

   

    ，即

   

    在中，由勾股定理

   

    解法2：图（2）

    作于G，于H

    为矩形，

   

   

    在中，

   

    在中

   

   

    在中，由勾股定理

   

    解法3：图（3），延长AB、DC相交于点F

   

    在中，

    在中，

   

   

    在中，由勾股定理

   

    点悟：本题的多解法中，我们可总结，特殊角要放在直角三角形中，使用起来才方便，无直角三角形时，一是可用等角代换，转移至直角三角形；二是可作垂线，构造直角三角形，对于常转化为其补角去发挥作用。

 

  例6. 在中，为BC中点，，，求AB的长。

    解：

   

    设

    在中，，由勾股定理

   

   

   

    D是BC中点

   

    在中，由勾股定理

   

    的长是。

 

  例7. 已知：如图在中，，BD是的平分线，，，求BC的长。

    解：在中，

   

    平分

   

    设

    在中，

   

   

   

   

   

    BC长为。

 

  例8. 已知：如图在直角梯形ABCD中，AB//CD，，E、F分别为AD、BC的中点，，求两底AB、CD的长。

    解：过C作于G交EF于H

    E、F分别是AD、BC的中点

   

    在中，

   

    为的中位线

   

   

   

    答：AB长，CD长cm

    点悟：本题使用“转化思想”，把分散的元素，通过添加辅助线，集中到一个三角形中，然后，再解此三角形。

 

【模拟试题】（答题时间：45分钟）

一. 选择题：

  1. 已知在中，，则a等于（    ）

    A.                  B.                C.             D. 3

  2. 已知在中，三内角之比为，则三边之比等于（    ）

    A. 1：2：3            B. 1：：2        C. 1：3：4            D. 1：：4

  3. 等腰三角形底边上的高为8，周长为32，此三角形面积是（    ）

    A. 56             B. 48              C. 40             D. 32

  4. 已知如图菱形ABCD，对角线，那么等于（    ）

    A.             B.             C.                      D.

  5. 已知等腰三角形ABC中，一腰上高为1，这条高与底边夹角为，则的面积等于（    ）

    A. 1               B.           C.             D.

 

二. 填空。

  6. 若为锐角，且，则_______。

  7. 在中，，则_______。

  8. 已知直角三角形两直角边之和为，面积为2，则此直角三角形的斜边长为________。

  9. 已知矩形的两条边长分别为和2，则这个矩形的两条对角线所夹的锐角度数为___________。

 

三. 解答题：

  10. 如图（1）在中，的平分线，求及的值。

（1）

  11. 已知，如图（2），在中，，CD是高，求证：

   

（2）

  12. 平行四边形边长分别为，一个角为，求平行四边形两高的长。

【试题答案】

一. 1. D         2. B        3. B        4. A        5. A

二. 6.     7.     8. 4         9.

三. 10. 解：在中，

   

   

    又是的平分线

   

   

   

  11. 证明：设则

    ，

   

  12. 解：在平行四边形ABCD中，

   

    则

    作于F，在中，

   

    作于E，在中

   

    答：此平行四边形的两高分别是与。

 

【励志故事】

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