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最近有位同学看了一部电影——《决胜21点》，对里面的“三门问题”十分感兴趣，于是来和Lulu老师探讨。实不相瞒，当年我在UCL上的第一节Applied Math的课时，我的教授也在课上问了我们这个问题，记忆犹新！ 那今天 我们就一起来一探究竟吧 先说说这部电影，它讲述的是16岁的数学天才少年Ben，靠智商席卷了拉斯维加斯赌城，成为亿万富翁的故事。在这个故事的最开始，他在课堂上被提问了两个问题，一个是我们FP1中学过的Numerical solution of equation——Newton-Raphson Process（大家康一康电影中的板书是不是很熟悉！） 
另一个就是我们今天的主角——“三门问题”。
这个游戏原型来自于美国的一个电视抽奖节目，Let’s make a deal。该节目主持人叫蒙提霍尔，所以我们也把“三门问题”叫做Monty Hall problem。 ··· 话不多说，我们开始吧！···
现在有三扇门，只有一扇门打开是汽车， 其余两扇门里面都是山羊。 在你不清楚每扇门后面是什么的情况下， 你会在三扇门中随机挑选一扇。 当然，你希望能够get汽车～ 为了让游戏更有趣，在你选择了一扇门之后， 清楚门后面是什么奖品的主持人， 会打开另一扇不是你选择的，并且后面是山羊的门。 ··· 什么意思呢？··· 如果你挑了一扇有山羊的门B， 那主持人就会打开另一扇有山羊的门C。 如果你挑了一扇有汽车的门A， 主持人会打开另外两扇有山羊的门BC中的任意一扇。 ··· 重点来了 ··· 此时，主持人会问你一个问题： 你是否要改变你的选择，去选择另一扇没有打开的门？ 好了，以上就是游戏规则。 如果是你，你会坚持原来的选择，还是临时倒戈呢？ 教授在电影里也向Ben提出了尖锐的疑问： 我们来康康男主帅气十足的回答： 
让我们用一个Tree diagram来理一理： 首先，我们第一次选择的时候，
无论是选ABC，每个都有1/3的概率。 第二条分支，需要我们好好理解一下。 1. 你选到了A门（车） 主持人会打开BC（羊）两个中的某一扇门 此时，你换门，则没车，即中奖概率0% 不换门，就有车，即中奖概率100% 2. 你选到了B门（羊） 主持人会打开C（羊） 你换门，你一定会换成A（车），即中奖概率100% 不换门，即中奖概率0% 3. 你选到了C门（羊） 主持人会打开B（羊） 与上面选了B门同理，你换门， 你一定会换成A（车），即中奖概率100% 不换门，即中奖概率0% 当我们把概率都理清楚了以后 我们就可以利用S1中学过的知识 来算一下到底要不要换门了 不换门的获奖率 =（1/3 x 100%）+（1/3 x 0%）+（1/3 x 0%）=1/3 换门的获奖率 =（1/3 x 0%）+（1/3 x 100%）+（1/3 x 100%）=2/3 经过这一顿操作 我们发现如果临时倒戈选择换门 中奖的概率大大提高 竟然是不换门的两倍之多！ 是不是和你最一开始猜测的答案有所不同呢？ 等等，你说有没有更简单的方法？ 男主Ben又是如何一下子算出答案的？ 
如果我们用另一个角度去看这个“三门问题” 我们可以这样想 在你最初选择门的时候，中奖概率是1/3， 那么也可以说， 车在另外两扇不是你选择的门的概率为2/3 （两扇门平摊这个概率） 这时，主持人帮你打开了一扇有羊的门， 即帮你排除了一个错误选项， 这个2/3的中奖概率忽然就塌缩到了剩下的一扇门里 （一扇门独享这个概率） 所以，如果此时我们更换选择， 中奖概率就提高到2/3，而不是原来的1/3了。 除了下次遇到这类问题， 能够云淡风轻地和男主一样说出正确答案之外， 在我们的生活中也是有点用处的。 比如，公司里面现有三种新品需要开发， 并且这三种里只有一种产品能够杀出重围，获得成功。 你作为产品经理完全无法抉择哪个项目更好， 于是你随机选择了其中一种。 还没等咱们上手呢， 你可怜的对家公司刚好研发了另一个产品， 而且市场并不买账，一败涂地。 这个时候，你应该怎么做？ 立刻放下手中你选择的产品，换另一个开发！！ 为什么？ 因为“三门问题”啊～ 文章作者：@ Lulu Wang |
