“数”海遨游 | 数学界的神奇定律——莫比乌斯环和克莱因瓶

原创 扬大数科院

 扬州大学数学科学学院 

2019-12-13

数学是很深奥的学科
复杂多样的公式和定律
让很多人为之探索
其实学习数学是很有趣的事情
喜欢数学的人
都会找到乐趣

数学中有一个分支叫拓扑学
专门研究几何图形或空间
在连续变换形状后
还能保持不变的一些性质
莫比乌斯环和克莱因瓶
就是其中两个很有趣的例子
让我们一起探究其中的奥秘吧

莫比乌斯环

公元1858年，德国数学家莫比乌斯和约翰·李斯丁发现：把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈，具有魔术般的性质。普通纸带具有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色，而这样的纸带只有一个面（即单侧曲面）。

莫比乌斯环只有一个面，一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。因为它的奇异特性，使得一些在平面无法解决的问题，可以在莫比乌斯环上得到答案。

比如镜像的问题，人的左右两只手存在镜像，大体看起来极为相同，但仔细观察，就会发现不同，左手套无法贴合的当右手套使用，但如果人手可以处于莫比乌斯环，绕面走回到起点的时候，会成为原来手的镜像，手套便可以轻松易面了。所以莫比乌斯环是一个二维概念物，可以在三维世界里呈现出来，故我们能做出它的模型。

克莱因瓶

1882年，著名数学家菲立克斯·克莱因发现了后来以他的名字命名的著名“瓶子”—克莱因瓶。它的结构可表述为：一个瓶子底部有一个洞，延长瓶子的颈部，并且扭曲地进入瓶子内部，与底部的洞相连接。和我们平时用来喝水的杯子不一样，这个物体没有“边”，它的表面不会终结。它和球面不同，一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面。和莫比乌斯环相似，它是一种无定向性的平面，没有“内部”和“外部”之分。

更加有趣的是，如果将克莱因瓶沿着它的对称线切一刀，就会有两个莫比乌斯环出现。如果莫比乌斯带能够完美的展现一个“二维空间中一维可无限扩展之空间模型”的话，克莱因瓶只能作为展现一个“三维空间中二维可无限扩展之空间模型”的参考。它并不和自己相交，是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面。所以在我们这个三维空间中，并不能制出真正的克莱因瓶。

莫比乌斯环和克莱因瓶的结构和有趣性质

把我们的思维推向更远

数学是一门神奇的学科

它的奥秘无穷无尽

等你来寻

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排版：周颖

校对：李明琴

审核：潘伊人

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