一道南京大学《数学分析》习题的几种初等解法

未来的日子里，我会陆续发布一些经典数学试题的原创解法，也会和大家分享数学中的一些奇思妙想！

一道南京大学《数学分析》习题的几种初等解法

设.试在内选取个点,使得

取得最大值.

解：

此题本质上转化为证明不等式：

若，则

下面我们给出三种不同的证法：

法一：

法二：

考察函数,那么

0' data-formula-type='block-equation'>

故为凸函数， 则有

令

此式等价于式!

法三：

用数学归纳法.

当时，结论平凡；

当时，即柯西不等式；

当时，对进行归纳易证；

当不是的幂时，

取

则

又

从而

.

注：法三的方法可证明柯西不等式的推广

其中

回到原题

等号当且仅当成等比时取得.

此题的下一题是构造一个光滑的二次函数，使得在每一条过原点的直线上是极小值，但不是的极小值.你能构造出来吗?是否超过你的想象?