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毕达哥拉斯与第一次数学危机 毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生。 小小的无理数的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。 更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，这场风波，对毕达哥拉斯学派产生了沉重的打击，“数即万物”的世界观被极大的动摇了,有理数的尊崇地位也受到了挑战，因此也影响到了整个数学的基础，使数学界产生了极度的思想混乱。这场危机，历史上称之为第一次数学危机。 第一次数学危机对数学发展的影响是巨大的，它极大的推动了数学及其相关学科的发展。 首先，第一次数学危机让人们第一次认识到了无理数的存在，无理数从此诞生了，之后，许多数学家正式研究了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了一个含有有理数和无理数的新的数类——实数，并建立了完整的实数理论，为数学分析的发展奠定了基础。 其次，第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段：证明进入了数学，数学已经由经验科学变为演绎科学，并由此建立了几何公理体系。欧氏几何就是人们为了消除矛盾，解除危机，在这时候应运而生的。 欧几里得的《几何原本》（公元前330-前275）的出现是数学史上的一个伟大的里程碑。这本书是世界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作。两千多年来一直是全世界人民学习数学的主要教材。 《几何原本》共有23条定义、5条公设、5条公理、467个命题，在西方世界，除了《圣经》以外没有其它著作的作用、研究、印行之广泛能与《几何原本》相比。自1482年第一个印刷本出版后，至今已有一千多个版本。 《几何原本》在明朝末年（1607年）被引入我国，它是由我国科学家徐光启和意大利传教士利玛窦合作翻译的，是我国翻译的第一部西方数学著作。徐光启曾对这部著作给以高度评价。他说：“此书有四不必：不必疑，不必揣；不必试，不必改。有四不可得：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更之不可得。有三至三能：似至晦，实至明，故能以其简简他物之至繁；似至难，实至易，故能以其易易他物之至难；易生于简，简生于明，综其妙在明而已。” 第一次数学危机极大地促进了几何学的发展,使几何学在此后两千年间成为几乎是全部严密数学的基础，这不能不说是数学思想史上的一次巨大革命。 第一次数学危机，诞生了欧几里得几何。欧几里得几何的影响超过了任何别的书，它一方面是现代科学技术的理论基础之一，另一方面它给予人们一套科学的几何思想。我们来举几个典型的例子。 阿基米德不是通过用重物作实验，而是按欧几里得的方式，从“相等的生物在离支点相等距离处处于平衡”这一公设出发证明了杠杆定律。 牛顿称著名的三定律为“公理或运动定律”．从三定律和万有引力定律出发，建立了他的力学体系．他的《自然哲学的数学原理》具有欧几里得式的结构。 在马尔萨斯1789年的《人口论》中，我们可以找到另一个例子。马尔萨斯接受了欧几里得的演绎模型。他把下面两个公设作为他的人口学的出发点：人需要食品；人需要繁衍后代．他接着从对人口增长和食品供求增长的分析中建立了他的数学模型。这个模型简洁，有说服力，对各国的人口政策有巨大影响。 令人惊奇的是，欧几里得的模式还推广到了政治学．美国的《独立宣言》是一个著名的例子。独立宣言是为了证明反抗大英帝国的完全合理性而撰写的。美国第三任总统杰斐逊(1743一1826)是这个宣言的主要起草人。他试图借助欧几里得的模型使人们对宣言的公正性和合理性深信不疑．“我们认为这些真理是不证自明的……”不仅所有的直角都相等，而且“所有的人生来都平等”。这些自明的真理包括，如果任何一届政府不服从这些先决条件，那么“人民就有权更换或废除它”。宣言主要部分的开头讲，英国国王乔治的政府没有满足上述条件”。因此，我们宣布，这些联合起来的殖民地是，而且按正当权力应该是，自由的和独立的国家．”我们顺便指出，杰斐逊爱好文学、数学、自然科学和建筑艺术． 相对论的诞生是另一个光辉的例子．相对论的公理只有两条：1)相对性原理，任何自然定律对于一切直线运动的观测系统都有相同的形式；2)光速不变原理，对于一切惯性系，光在真空中都以确定的速度传播．爱因斯坦就是在这两条公理的基础上建立了他的相对论． 关于建立一个理论体系，爱因斯坦认为科学家的工作可以分为两步．第一步是发现公理，第二步是从公理推出结论．哪一步更难呢?他认为，如果研究人员在学校里已经得到很好的基本理论、推理和数学的训练，那么他在第二步时，只要“相当勤奋和聪明，就一定能成功”．至于第一步，即找出所需要的公理，则具有完全不同的性质，这里没有一般的方法．爱因斯坦说：“科学家必须在庞杂的经验事实中间抓住某些可用精密公式来表示的普遍特性，由此探求自然界的普遍原理．” 第一，它留给我们一个坚强的信念：自然数是万物之母，即宇宙规律的核心是数学．这个信念鼓舞人们将宇宙间一切现象的终极原因找出来，并将它数量化． 第二，它孕育了一种理性精神，这种精神现在已经渗透到人类知识的一切领域． 第三，它给出一个样板一欧几里得几何．这个样板的光辉照亮了人类文化的每个角落． 但是，令人痛惜的是，罗马士兵一刀杀死了阿基米德这个科学巨人，这就宣布了一个光辉时代的结束．怀特海对此评论道：“阿基米德死于罗马士兵之手是世界巨变的象征．务实的罗马人取代了爱好理论的希腊人，领导了欧洲．罗马人是一个伟大的民族．但是受到了这样的批评：讲求实效，而无建树．他们没有改进祖先的知识，他们的进步只限于工程上的技术细节．他们没有梦想，得不出新观点，因而不能对自然的力量得到新的控制．”此后是千余年的停滞。 |
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