西方人为什么无法发现“0”？（下）

毕达哥拉斯将数学与神学交织，这个思想被柏拉图发扬光大，并从此一直支配西方的哲学及神学思想。黄金分割率与美学、生命和宇宙之间看似超自然的联系，成为了西方文明的中心信条，后来又成为了基督教的核心教义。

然而，在毕达哥拉斯最引以为傲的发现“黄金分割”中，就蕴含着动摇其自身理论根基的无理数：

设一个数列，它的最前面两个数是1、1，后面的每个数都是它前面的两个数之和。例如：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……这个数列为“斐波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”。经计算发现相邻两个斐波那契数的比值是随序号的增加而逐渐逼近黄金分割比。由于斐波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数。但是这一数列比值的极限则是一个无限不循环小数，也就是无理数。

“黄金分割是无理数”这一发现需要用到“极限”的概念，这是两千年之后第二次数学危机的主要内容，然而危机的种子在此时已经种下。

第一次数学危机惹祸的源头，在于毕达哥拉斯提出的一个著名定理：毕达哥拉斯定理，也就是我们学习的“勾股定理”：在平面内，任意直角三角形的三条边之间满足两条直角边的平方之和等于斜边的平方。

当时毕达哥拉斯学派弟子众多，其中就有一个非常聪明的学生，名叫希帕索斯。这个希帕索斯在学习了“万物皆数”和“毕达哥拉斯定理后”，独自将两个理论融会贯通，还进行了举一反三。

他问老师：如果一个直角三角形的两条直角边都是1，那么它的斜边长度是多少呢？

这个问题问倒了毕达哥拉斯，因为根据定理，斜边的长度应该是√2，但是这个√2是个无理数，根本无法用整数之比表示出来。

于是毕达哥拉斯懵了，想了很久，发现这个长度真的没法表示。这就意味着他的“万物皆数”不对啊，这相当于整个学派存在的根基都被动摇了。

毕达哥拉斯的做法是，既然我解决不了这个问题，那我就解决提出这个问题的人。为了“学派大义”，于是他就把希帕索斯绑上石头，扔进了爱琴海。这一处理方式也成为后世基督教会消灭“异端”的惯用做法。这就是第一次数学危机，也可以称为无理数危机，或者也叫“不可公度危机”。

大约公元前370 年，柏拉图的学生尤得塞斯纯粹用几何公理化方法创立了新的比例理论，微妙地处理了可公度和不可公度。这一方法被欧几里得《几何原本》收录。第一次数学危机持续了数千年，直到十九世纪Dedekind，Cantor，Weierstrass建立的无理数严格理论才真正得到化解。

代数的离散性质，不能连续地表达现实空间。以最简单的一维数轴为例，有理数（整数与分数）是稠密的，也就是说任意两个有理数之间都存在无穷多个有理数，但是有理数显然不能完全覆盖连续的数轴上每一个点，其中依然存在无穷多个空隙，那就是无理数。即使有理数加上无理数，也仅仅是刻画了一根线而已，人们感知到的三维无限延展的连续空间，又应当如何用数来刻画？

这就好比在礁石密布的海面上航行，人们仅仅能够看到有限的露出水面的礁石（有理数），但是水面之下还暗藏着更多的看不见的暗礁（无理数），更别说还有来自空中的怪物（实数轴之外的复空间），这样不出事故才怪！

“万物皆数”的理想支离破碎。

第一次数学危机的启示：计算不可靠，推理证明才是可靠的。从此，古希腊人从重视“计算技术”转向重视“演绎推理”，实现了数学思想的一次巨大革命。

于是希腊人开始更重视几何，数学发展进入了“重形轻数”的阶段。几何学舍弃了物质所有的其它性质，只保留了空间形式和关系作为研究的对象。这种抽象决定了几何的思维方法，就是必须用推理的方法，从一些结论导出另一些新结论。

在之后上千年的时间里，“几何”一直占据着“统治地位”，“代数”一直是依附于“几何”的存在，在“代数”研究几乎陷于停滞了上千年的同时，对“几何学”的研究热情却空前高涨。

正是在这样的背景下，欧几里得吸收了古希腊众多数学家的几何研究成果，编辑成为《几何原本》。《几何原本》的伟大之处在于它建立了人类数学史上的第一个“公理化体系”，该书从五大“公理”开始，用逻辑推理的方法得到“定理”，通过严密的层层推导，将整个“几何学”构建成了庞大而又清晰的“逻辑体系”。它包括了今天中小学几何部分的全部内容，甚至产生了“微积分”思想的萌芽。《几何原本》从根本上改变了人们认识大自然的方法，由之前的“直觉经验”转向了“证明推理”，推动了“公理几何学”与“逻辑学”的发展，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响。

《几何原本》是人类历史上推动文明进步最重要的单一著作，没有之一。近代任何一个文明兴起，不管是军事崛起，还是文化复兴，都会不约而同地注重《几何原本》的学习，都会展示在《几何原本》上的解读力和话语权。《几何原本》改变并统一了人类在空间秩序思考的方式，《几何原本》没有传播到的地方，数学各有各的表述方式；一经接受《几何原本》，数学语言就终结了各自独特的说法，统一了数学语言，统一了数学解题等思维方式。

尽管《几何原本》的历史作用如此之巨大，但是用“知之甚少”已不足以形容我们对这位留下《几何原本》及其他数种著作、被尊为“几何之父”的伟大先贤的生平了解之贫乏。著名的《科学传记百科全书》在“欧几里得”词条的开篇这样写道：

尽管欧几里得是有史以来最著名的数学家，其名字成为“几何”的代名词直至20世纪，关于其生平却只有两件事是已知的—甚至连这些也并非全无争议：一件是他居于柏拉图（卒于公元前347年）的学生与阿基米德（生于公元前287年）之间；另一件是他曾在亚历山大港教过书。

《几何原本》本身的流传也绝非一帆风顺。征服希腊的罗马人仅把数学看作实用的计算和测量技术，再也没有古希腊人的狂热崇拜。《几何原本》成书后，许多知名或不知名的古代学者对其进行了评注和编辑，这些评注和编辑虽对《几何原本》的流传功不可没，但因毫无版本、版权及文责意识，对原文的干扰也是巨大的，由此产生了诸多版本。其中一度流传最广的版本出自公元4世纪的希腊数学家赛翁（Theon），在长达千年以上的时间里成了《几何原本》的标准版本。赛翁的女儿希帕提娅，就是那位被信仰基督教的暴徒当众烧死的女数学家，她的死也标志着古希腊理性之光的熄灭。

在此之后，赛翁的版本先是被译成阿拉伯文，对阿拉伯数学的发展产生了巨大影响，后又由阿拉伯文转译成拉丁文，传回欧洲。但彼时的欧洲正处于基督教统治下的中世纪，《几何原本》被剥去证明，以所谓“简写本”为主的形式，如没有血肉的骷髅般地流传着。

柏拉图之后，亚里士多德和托勒密接力对毕达哥拉斯的有限宇宙进行修补完善，并以此为上帝的存在及教会在地球上的力量奠定了意识形态基础。在亚里士多德的宇宙观中，驱动所有元素运动的原动力就是上帝。这种宇宙力量从上到下进入人类运动的级联，被认为是对神圣意志的官方解释。

欧式几何的公理化演绎体系，也进一步强化了源自毕达哥拉斯的有限封闭的宇宙观。因为演绎推理从原则上并不能带来任何新的发现，作为演绎前提的公理实际上已经划定了系统的边界，演绎推导出来的结论如同如来掌心中的孙悟空，无论怎么变化也不可能跳出公理所界定的“五指山”。这种推理方式在以托马斯·阿奎那为代表的经院哲学神学家那里发展到极致，后者由于建立了系统的、完整的神学体系对基督教神学的发展具有重要的影响，被尊称为“神学界之王”。

托马斯·阿奎那在他的代表作《神学大全》中，提出了关于天主存在的五种证明：其中一种是“从事物的运动或变化方面论证”：

在世界上，有些事物是在运动着，这在我们的感觉上是明白的，也是确实的。凡事物运动，总是要受其他事物的推动，因而任何运动都是由在它之前的另一个运动引起的，这样一直推论下去，“最后追到有一个不受其他事物推动的第一推动者，这是必然的”。此第一推动者就是天主。

这一论证方式极大影响了后世的艾萨克·牛顿，牛顿终其一生，都是在寻找万物运动背后的“第一推动者”，其在物理学和微积分方面的贡献只是寻找过程的副产品而已。在现代物理学中，扮演“第一推动者”角色的就是“0”（宇宙大爆炸的奇点）。

在罗马帝国沦陷后，天主教会成为欧洲的主要机构。为了巩固它在世界上的统治地位，教会把自己奉为天堂的守门人，以任何方式穿过教堂的任何人都会发现自己永远被禁锢在圣门之外。教会对绝对主权的主张，在很大程度上依赖于毕达哥拉斯建立的神学范式，其认为地球上占主导地位的机构（在他们看来是宇宙的中心）必定在神的宇宙中占据统治地位。

“0”作为虚无和无限的象征，代表了一种“有生于无”的东方宇宙观，即道德经中所说的“反者道之动，弱者道之用。天下万物生于有，有生于无”。

“反者道之动，弱者道之用”正是东西方哲学不同发展道路最好的注脚：东方哲学从诞生之初就站在宇宙秩序的制高点，反而使其丧失了进化的动力，甚至没有发展出近代数学与科学；西方哲学则从娘胎里带有重大缺陷（既反且弱），为了弥补缺陷，因此带来了巨大的内生发展动力，成为孕育近代数学与科学的子宫。

但是在孕育足够强的动力冲破反动派构筑的牢笼之前，西方哲学必须要走过了漫漫征程，这就是黑暗的中世纪。源于毕达哥拉斯并在基督教大成的西方宗教宇宙观中，低等秩序（理性）由高等秩序（理性）所创造，我们既然看到的是一个秩序井然的宇宙，因此必然存在一个最高秩序的缔造者，因此诞生了逻各斯和上帝的概念。因此“0”与全知全能全在全有的上帝存在天然矛盾、无法兼容的，0对教会而言就是异端。

在教会教条的教导下，基督教拒绝接受0的概念，这和最初其对虚无的恐惧有关。0在虚无与混乱之间有着不可逾越的联系，是魔鬼撒旦的代号，这在当时大多数基督徒看来都是一个令人恐惧的概念。

到了13世纪，一些主教开始召集议会来质疑亚里士多德提出的“上帝无所不能”的教义：例如，“上帝不能直线移动天堂，因为那样会留下一个真空。如果天堂直线移动了，那么其身后会留下什么？它是通过什么物质移动的？这意味着虚空（“0”）的存在，或者上帝并不是真正万能的，因为他不能移动天堂。” 

“0”成为挑战上帝权威的战士，亚里士多德哲学开始在自身的压力下破裂，从而侵蚀了教会权力的根基。尽管教会在几个世纪后依旧坚持了亚里士多德的观点，其通过禁止某些书籍和焚烧某些新教徒来与异端进行斗争。

欧洲最早使用“0”的是意大利人，这些进行国际贸易的商人一方面很容易接触到来自东方的数学思想，另一方面出于记账的需要，发现数字“0”以及东方数字系统的巨大优越性，并将其称作“阿拉伯数字”，因为他们主要是跟阿拉伯人打交道并从对方那里学到这些先进的东西。

尽管0在商业上有着优越的效用，但是遭到了宗教当局的禁止。1299年，佛罗伦萨禁止了阿拉伯数字系统。与许多创新一样，0面临着权力结构的强烈抵制，因为这些结构受到了0的威胁。而意大利商人非法行事，继续使用基于0的数字系统，甚至开始使用它来传输加密的消息。0对于这些早期的加密系统是必不可少的，这就是为什么最初意味着0的“cipher”一词变成了“密码”的意思。一百年后，从事贸易和银行业的美第奇家族在佛罗伦萨崛起，用运用“0”带来的商业利益形成的力量，来维护自身使用“0”的权利，于是美第奇家族成为文艺复兴的早期最主要的赞助人。

文艺复兴时期，艺术家追求人的完美与尊严，通过对人体解剖的研究和透视的运用，创造出栩栩如生的艺术形象，这就意味着对曲线、黄金分割率（即无理数）的研究；同时，艺术家重视对自然的观察和描绘，追求真实、细腻的表现方式。对光影、色彩和形态的准确捕捉，使作品更加逼真，这就意味着对于0的应用。两者都在动摇自毕达哥拉斯时代建立的数学/神学范式。

有了0的概念，艺术家们可以在他们的作品中创造出一个零维点，这个点离观看者“无限远”，并且画中的所有物体都在视觉上塌陷。当物体似乎从观察者退到远处时，它们变得越来越压缩，并最终消失。正如今天的情况一样，艺术对人们的感知有着强烈的影响，并潜移默化地改变人的认知。最终，教会的一位红衣主教尼古拉斯-库萨宣布：“地球不是宇宙的中心”。这一宣言后来导致哥白尼证明日心论，然后点燃了宗教改革，以及后来的启蒙时代。

十七世纪，基于0（原点）的概念诞生了笛卡尔坐标系。毫不夸张地说，笛卡尔坐标是当今工程技术和数字虚拟世界存在的根本，影响当今生产生活的方方面面。与此同时，笛卡尔坐标不可避免地会带来牛顿绝对时空观，为十九世纪的物理学危机埋下伏笔。

近代科学复兴，《几何原本》功不可没。特别是牛顿，他的考官巴罗博士曾提醒他，由于他的几何基础知识过于薄弱，将来无论如何用功都很难有所成就。深受打击的牛顿在剑桥大学附近泡夜店排遣郁闷的心情，竟然意外地买到了《几何原本》，他如获至宝反复地学习和研究，最终写出了他的伟大著作：《自然哲学的数学原理》。《原理》的写作方式完全是按照《几何原本》的样式来，建立的也是一个地地道道的公理化力学体系。最开始给出了几个定义，然后给出几条运动定律和推理规则，经过一系列的推理和演算，得到一些普适的结论，再把这些结论运用到实际中去，再和实验数据和观测数据作对照。

当人们兴高采烈地满足于《几何原本》带来的丰富成果时，却忽略了同等重要的“实数理论”的研究，这种“重形轻数”思想所带来的弊端，在漫长的岁月里慢慢地积累着，为“第二次数学危机”埋下了导火索，这就是微积分中蕴含的0与无限的矛盾。

（未完待续）