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数学史(5):神秘的毕达哥拉斯

2020-02-02  时宝官

在数学的天地里,重要的不是我们知道什么,而是我们怎么知道什么。——毕达哥拉斯

尽管古代希腊的数学起源晚于美索不达米亚和古埃及,尽管泰勒斯可谓古代希腊第一位数学家,但真正意义上把数学作为一个学科研究是始于毕达哥拉斯,他也被誉为“数学之父”。

罗素《西方哲学史》:“数学,在证明式的演绎推论的意义上的数学,是从他开始的;而且数学在他的思想中乃是与一种特殊形式的神秘主义密切地结合在一起的。自从他那时以来,而且一部分是由于他的缘故,数学对于哲学的影响一直都是既深刻而又不幸的。”

数学史(5):神秘的毕达哥拉斯

一、毕达哥拉斯生平

毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前580年—约公元前497年)出生于米利都附近的萨摩斯岛(Samos Island)的一个贵族家庭,自幼聪明好学,尤其对几何学、自然科学以及哲学非常感兴趣。

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1955年希腊邮票:萨摩斯古地图

九岁时毕达哥拉斯被富商父亲送到提尔(古代腓尼基人的城市,今属黎巴嫩),在闪族叙利亚学者那里学习并接触了东方的宗教和文化。后来,他在萨摩斯的诗人克莱非洛斯那里学习了诗歌和音乐。

公元前551年,毕达哥拉斯来到米利都成为泰勒斯的学生。学了一段时期之后就到处游历,包括埃及、巴比伦和印度,并可能在那里学到一些数学和神秘主义的教条。

毕达哥拉斯在49岁时返回家乡萨摩斯,创办哲学学校。他认为妇女也和男人一样有求知的权利,允许她们来听讲。

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公元前520年左右,因为政治原因,毕达哥拉斯离开萨摩斯,移居西西里岛,后来定居在克罗托内(Crotone,今属意大利南部)。在那里他广收门徒,建立了一个宗教、科学和哲学性质的秘密社团——毕达哥拉斯学派。

这个社团里有男有女,一切财产公有。每个学员都要在学术上达到一定的水平,加入组织还要经历一系列神秘的仪式,以求达到“心灵的净化”。他们要接受长期的训练和考核,遵守很多的规范和戒律(最出名的是禁食豆子),并且宣誓永不泄露学派的秘密和学说。毕达哥拉斯自称是神的儿子,可以在死后不断转世,他的门徒尊他为圣人。

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据信毕达哥拉斯学派的人参与政治活动,与贵族党派结盟,因此被民主党派驱逐。毕达哥拉斯被迫移居梅塔蓬图姆(Metapontum,今意大利南部塔兰托Taranto),并于公元前497年被害于此。

他的门人散居到希腊其它学术中心,继续进行数学、哲学研究,以及政治方面的活动,直到公元前4世纪中叶。毕达哥拉斯学派持续繁荣了两个世纪之久。

二、毕达哥拉斯学派的数学贡献

1、创立纯数学

毕达哥拉斯将数视为心智想象出的东西,这是数学研究对象抽象化的开端,是对数学的重大影响之一。毕达哥拉斯认为,研究数学的目的并不在于使用而是为了探索自然的奥秘,对几何形式和数字关系的沉思能达到精神上的解脱。

毕达哥拉斯率先对纯数学与应用数学作了区分,其中纯数学包括算术与几何,研究心智想象出的东西;应用数学包括音乐和天文,研究感官探知到的东西。欧德摩斯(Eudemus)说,毕达哥拉斯创立了纯数学,把它变成一门高尚的艺术。

2、万物皆数

在毕达哥拉斯学派看来,数为宇宙提供了一个概念模型,数量和形状决定一切自然物体的形式,数不但有量的多寡,而且也具有几何形状。在这个意义上,他们把数理解为自然物体的形式和形象,是一切事物的总根源。因为有了数,才有几何学上的点,有了点才有线、面和立体,有了立体才有火、气、水、土这四种元素,从而构成万物,所以数在物之先。自然界的一切现象和规律都是由数决定的,都必须服从“数的和谐”,即服从数的关系。

他们赋予数字不同的含义和神秘主义的宗教色彩:

“1”是数的第一原则,万物之母,也是智慧;

“2”是对立和否定的原则,是意见;

“3”是万物的形体和形式;

“4”是正义,是宇宙创造者的象征;

“5”是奇数和偶数,雄性与雌性和结合,也是婚姻;

“6”是神的生命,是灵魂;

“7”是机会;

“8”是和谐,也是爱情和友谊;

“9”是理性和强大;

“10”包容了一切数目,是完满和美好。

后世学者曾对算术、几何、音乐、天文四大领域在毕达哥拉斯学说中的地位作过有趣的概括:算术是数的本身,几何是空间中的数,音乐是时间上的数,天文是时空里的数。

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毕达哥拉斯学派徽标:圣十(Tetractys)

3、 数论研究

毕达哥拉斯对数论作了许多研究,将自然数区分为奇数、偶数、素数、三角形数、正方形数(平方数)、多角数、完全数和亲和数等。

1,3,6,10这些数叫三角形数,因为相应的点子能排列成正三角形(上图)。第四个三角形数10特别使毕达哥拉斯学派神往,因为代表完满和美好。并且这个三角形的每边有4点,而4代表正义。他们认识到1,1+2,1+2+3等这些和数都是三角形数,并且知道:1+2+...+n=n(n+1)/2。

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1,4,9,16这些数他们称之为正方形数(下图),因为用点表示时可以排成正方形。合数中凡不恰好是正方形数的,叫做长方形数。相邻两个三角数之和是正方形数,即:

n(n+1)/2+(n+1)(n+2)/2=(n+1)²

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毕达哥拉斯学派再用下图所示方案从一个正方形数得出下一个正方形数,即:

n²+(2n+1)=(n+1)²

也意味着:1+3+5+...+(2n-1)=n² 。

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毕达哥拉斯学派还研究多角数,如五边形数、六边形数和其它多边形数。从下图可知,第n个五边形数是(3n²-n)/2,第n个六边形数是2n²-n。

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若一数等于它的所有因数(包括1但不包括自身)之和,则称之为完全数,如6,28和496。数本身大于其因数之和的叫盈数,小于其因数之和的叫亏数。

【注】直到1952年人们才发现12个完全数。欧几里德的《原本》第九卷的最后一个命题是,证明:如果2^n-1是一个质数,则2^(n-1)·(2^n-1)是一个完全数。由这个公式所给出的完全数都是偶数。后来大数学家欧拉证明了每一个偶完全数必定是这种形式的。人们自然会问,是否还有其他的完全数?即有没有奇完全数?但至今还没有人能够回答这个问题。

若有两数彼此等于另一数的因子之和,则称这两数为亲和数。

【注】220与284是毕达哥拉斯最早发现的一对亲和数,同时也是最小的一对亲和数。1636年,法国数学家费马发现了第二对亲和数,它们是17962与18416。两年后笛卡儿找出了第三对亲和数9437056和9363584。瑞士的大数学家欧拉曾系统地去寻找亲和数,1747年他一下子找出了30对,3年后他又把亲和数增加到了60对。令人惊奇的是,除去220与284之外最小的一对亲和数1184与1210竟然被这些数学大师们漏掉了。它被一个16岁的意大利男孩帕加尼尼在1886年发现。至今,已经知道的亲和数已有1000对以上。

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毕达哥拉斯学派还研究了质数、递进数列,以及他们认为美的一些比和比例关系。一般认为,毕达哥拉斯学派是西方研究和声(五度相生律)的始祖。他们发现弦乐发出的声音取决于弦长,而两根长度成整数比的同质料绷紧的弦会发出谐音。例如,他们知道截取一根弦的2/3可以得到一个五度音,截取同一根弦的一半可得到一个八度音,由此得到一个 “和谐比例”(Harmonic proportion),因为1:1/2 = (1-2/3):(2/3-1/2)。调和级数的名称也由此研究而来。

毕达哥拉斯学派认为由太阳、月亮、星辰的轨道和地球的距离之比,分别等于三种协和的音程,即八度音、五度音、四度音。

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4、毕达哥拉斯定理

该定理早已为巴比伦人所知(在中国叫勾股定理,由周朝商高提出),不过最早的证明归功于毕达哥拉斯。他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。满足该定理的三个整数叫三元组数。

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【故事】相传毕达哥拉斯应邀到朋友家做客,被地面上的正方形大理石吸引,醉心思考大理石彼此间产生的数的关系。他在4块大理石拼成的大正方上,以每块大理石的对角线为边,画出一个新的正方形,发现这个正方形的面积正好等于2块大理石的面积;他又以2块大理石组成的矩形对角线为边,画成一个更大的正方形,而这个正方形正好等于5块大理石的面积。毕达哥拉斯定理由此证明。为了庆贺,毕达哥拉斯宰了一百头牛,所以也叫百牛定理。

毕达哥拉斯定理是欧氏几何的基础定理,被誉为“几何学的基石”,而且在高等数学和其他科学领域也有着广泛的应用。它是历史上第一个把几何与代数联系起来的定理,也是历史上第—个给出了完全解答的不定方程,并引出了费马大定理。毕达哥拉斯定理的证明是论证几何的发端,目前有超过500种证明方法。

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5、无理数的发现

毕达哥拉斯定理提出后,其学派中的一个成员希帕索斯(Hippasus)发现:边长为1的正方形其对角线长度√2既不能用整数,也不能用分数表示,而只能用一个新数(无理数Irrational number,不可公度比)来表示。这直接否定了毕达哥拉斯学派的信条:宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比(可公度比,即有理数rational number)。就因这一发现希帕索斯被扔进海里淹死了。

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无理数的诞生,并引发了第一次数学危机。直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数,并把实数理论建立在严格的科学基础上,从而结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的

第一次大危机。

【注】有理数和无理数的区别并非是否“有道理”,而是能否表示为整数比。rational的词根是ratio,即比率的意思。

欧几里得《几何原本》中提出了一种证明无理数的经典方法(归谬法,即反证法):

证明: √2是无理数

假设√2不是无理数

∴√2是有理数

令√2 =p/q(p、q互质且q≠0)

两边平方得2=p²/q²

通过移项,得到:2q²=p²

∴p²必为偶数

∴p必为偶数

令p=2m

则p²=4m²

∴2q²=4m²

化简得q²=2m²

∴q²必为偶数

∴q必为偶数

综上,p和q都是偶数

∴p、q互质,且p、q为偶数()

矛盾原假设不成立

∴√2为无理数

6、其它几何学贡献

  • 三角形内角之和等于两个直角
  • 黄金分割
  • 正五角形和相似多边形的作法
  • 平面可被等边三角形、正方形和正六边形填满
  • 证明了正多面体只有五种——正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体

7、开创演绎逻辑

毕达哥拉斯坚持数学论证必须从“假设”出发,从已知的事物开始演绎、推断,得出新的理论。这种演绎推理的方法对后来西方哲学和科学的发展起到了很大的影响。

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毕达哥拉斯是历史上最有趣味而又最难理解的人物之一......简单地说来,可以把他描写成是一种爱因斯坦与艾地夫人(十九世纪美国基督教科学会的创办人)的结合。——罗素

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