教学研讨｜4.4数学归纳法 第1课时（2019版新教材）

导读：

 四个基本问题：

 （1）为什么要应用数学归纳法?

 （2）数学归纳法是怎样的一种方法?

 （3）什么时候需要应用数学归纳法?

 （4）怎样正确地应用数学归纳法?

 数学归纳法的本质:

   建立一种无穷递推机制,实现从有限到无限的飞跃。

 数学归纳法原理的形成过程：

第一步，创设情境，提出问题。提出一个与正整数”有关的命题的证明问题，引发学生寻求证明方法，即如何通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立。

第二步，探究游戏，发现规律。观察多米诺骨牌游戏，分析、归纳其全部倒下的条件，揭示第二个条件中蕴含的递推关系。

第三步，迁移规律，解决问题。将多米诺骨牌全部倒下的条件类比、迁移到对上述数学命题的证明过程中，得到证明方法。

第四步，抽象方法，获得原理。抽象上述证明方法，得到数学归纳法的原理。

第五步，辨析步骤，理解原理。辨析数学归纳法的两个步骤及步骤之间的关系，进一步揭示其第二步实际上是要证明一个数学新命题。

第六步，简单应用，熟悉步骤。用数学归纳法证明简单的命题，重点是示范第二个步骤的证明过程。

研讨素材一

一、教材分析

教材截图

（考虑到研讨时部分教师未带有2019版课本，这里对教材截个图）

教材分析：

    本课时主要内容是借助具体实例,通过对证明一个数学命题的过程和多米诺骨牌全部倒下的过程的类比和分析,获得证明数学命题的方法,进而推广为数学归纳法的原理和步骤。

   1.数学归纳法的提炼过程   

   教材一方面通过引例提出猜想，寻求证明猜想的方法；另一方面挖掘“骨牌原理”，类比“骨牌原理”寻找和构建递推关系，呈现了数学归纳法产生的必要性与合理性

    具体说来，教材采用的编写思路是：设置探究栏目引出如何证明与正整数n有关的数学命题的问题，引发学生对数学归纳法的学习兴趣→挖掘多米诺骨牌全部倒下的原理（以下统称“骨牌原理”）→类比、迁移“骨牌原理”，获得证明数学命题的方法→推广得到数学归纳法的原理。因此，数学归纳法的形成过程，蕴含了类比、迁移、从特殊到一般的抽象过程这种编排方式符合弗赖登塔尔和华罗庚先生对如何正确学习数学归纳法的阐释，把用数学归纳法才能解决的问题呈现在学生面前，使学生在形成直观认识的基础上发现这个方法。

    (1)强化引例引导功能，为了使学生感受引入数学归纳法的必要性，教科书引入一个递推关系简洁明了、但其通项公式不能用常规方法严格证明的数列问题，并设置探究栏目进一步说明常规证明方法在解决这一问题时的不足，然后指明寻求新方法的方向：“通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立”.

    (2)深度挖掘“骨牌原理”，为了突出“现实情境一数学问题一数学形式化”的研究轨迹，教科书详细分析了“骨牌原理”，并通过思考栏目，引导学生分析使所有多米诺骨牌都能倒下的两个条件：

   ①第一块骨牌倒下;

   ②任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下.

   由此引导学生进一步深人分析条件②的作用—给出了一个递推关系.事实上,虽然多米诺骨牌游戏是一种现实情境，但它能揭示数学归纳法的本质,类比价值较高,可以视为递推思想的一个模型,即条件①②就是数学归纳法原理的现实模型.

   为实现现实情境向数学知识的自然迁移,教材设置了第三个思考栏目,将多米诺骨牌游戏的两个步骤类比、迁移到证明猜想“数列的通项公式是”的问题中,使数学归纳法的原理生成水到渠成.教学时教师可引导学生按照如下推理方式,回顾猜想引例中数列的通项公式是的过程:

  

让学生认识到虽然可以这样一直验证下去,但是正整数有无限多个,无法对数列的所有项一一验证.因此,利用逐个验证的方法无法完成证明.教学时应引导学生反思上述验证过程,使学生发现验证的关键是依托递推关系,归纳出推理的一般结构特征:

如果能够解决这个问题，就可以实现任意一项向下一项的过渡,从而可以利用有限个步骤的推理,解决无穷多个命题证明的问题.这样,学生就可以明确:如果能证明这个命题,那么猜想的证明就会迎刃而解.

   在教学中,教师应引导学生把猜想的证明过程与“骨牌原理”进行类比,一步一步对照挖掘(表4-2).重点要说明第二步是要证明一个命题:题设是,结论是.让学生独立思考如何证明这个命题.

表4-2“骨牌原理”与“猜想的证明步骤”对比分析

 通过以上类比、迁移的过程,学生就能真正理解“自动递推、无穷验证”的实质,从而实现从有限到无限的转化,为抽象、概括出数学归纳法的原理奠定坚实的基础.

（3）概括、提炼数学归纳法的原理.有了以上铺垫,数学归纳法原理的得出是非常自然、水到渠成的.形象地说,数学归纳法的原理相当于有无限多张牌的多米诺骨牌游戏,其核心就是“归纳递推”.需要指出的是,数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理（见拓展资源),教材只是结合具体问题抽象出数学归纳法的原理.在教学中,教师可根据学生的实际,利用拓展资源让学生了解数学归纳法的其他形式,帮助学生加深和拓展对数学归纳法原理的认知.

   2.数学归纳法的认知过程

   (1)突破数学归纳法的认知难点.

   数学归纳法的认知难点之一是“对把无限步的验证转化为有限步的验证合理性的认识”.为克服这一难点,教学中可以类比学生已有的知识经验,例如,证明直线与平面垂直（即证明一条直线与平面内的“任意一条”直线都垂直)，可以转化为证明直线与平面内的“两条”相交直线垂直.

   数学归纳法的认知难点之二是“理解两步骤的必要性”.在教学中,通过图4-1～图4-3所示的多米诺骨牌游戏的3次对比操作,可以直观地化解这一难点.通过这3次实验,教师可以引导学生发现:有“归纳递推”没有“归纳奠基”不行;有“归纳奠基”没有“归纳递推”也不行;有“归纳奠基”且有“归纳递推”才行.

   数学归纳法的认知难点之三是“对蕴含关系的理解”.事实上,学生的认知困难与理解“蕴含关系”存在密切联系,教学中应着重引导学生认识蕴含关系的意义：这个蕴含关系所关注的不是P(k)和P(k+1)是否分别成立,而是命题“若P(k)为真,则P(k+1)为真”是否成立.

   (2)认清数学归纳法的本质特征.

   教材通过思考栏目,引导学生概括出数学归纳法的本质特征,理解两个步骤之间既相互依存,又彼此关联,是一个有机的整体,从而真正理解数学归纳法的结构特征和证明规范.教师要强调用数学归纳法进行证明时，“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤缺一不可.其中第一步是命题递推的基础,确定了时命题成立,成为后面递推的出发点,没有它递推就成为无源之水;第二步是命题递推的依据,即确认一种递推关系,借助它命题成立的范围就能从正整数开始，向后一个数接一个数地无限传递到以后的每一个正整数,从而完成证明.因此,只有把两步的结论结合起来,才能断定命题对从开始的所有正整数n都成立.具体可按照如下“三步曲”组织教学:

   (1)第一步的作用是什么?引导学生类比“骨牌原理”,第一块骨牌倒下，给所有骨牌倒下提供了基础.类似地,第一步为命题成立提供了基础,所以称之为“归纳奠基”.

   (2)第二步的作用是什么?还是引导学生类比“骨牌原理”,如果第k块骨牌倒下,那么要能保证第k+1块骨牌也倒下，再加之k的任意性,即保证了骨牌倒下去的传递性.类似地,第二步保证了命题成立的递推性，所以称之为“归纳递推”.

   (3)第二步的本质是什么?是证明一个命题：条件是“n=k时命题成立”,结论是“n=k+1时命题也成立”.又由k的任意性,就保证了命题成立的递推性.

   （3）构建数学归纳法的结构框图.借助以下结构框图（图4-4）可以使学生加深对数学归纳法的理解,深化对使用数学归纳法的操作程序的认识.教学时,教师可引导学生自行画出数学归纳法的结构框图,并结合框图,逐层剖析,让学生明白第一步是证明奠基性,第二步是证明递推性,这样既有助于突破难点,又有利于突出重点. 

    3.数学归纳法的适用范围

   为了体现《标准（2017年版）》中“能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题”这一要求的变化,教材将数学归纳法的应用由上一版教材的2个例题增加到4个例题,并把数学归纳法的应用置于“数列”的整体框架之中,适度加强“观察一归纳一猜想一证明”的探索性思维方式的渗透,增加先猜后证的简单问题;同时,兼顾不等式内容调整到预备知识的现状,将原来只涉及正整数n的代数恒等式的证明,适度延伸到有关正整数n的不等式的证明.

   教学时要使学生明确,数学归纳法一般被用于证明某些与无限多个正整数n有关的命题.那么,是不是涉及正整数的命题都要用数学归纳法证明呢?或者换一种问法,什么时候才需要用数学归纳法证明呢?对这个问题,要引导学生学会具体问题具体分析.例如,要证明对任意的正整数n,等式恒成立,可以利用多项式的乘法法则直接证明,而不必应用数学归纳法;再如,用数学归纳法证明的单调性就难以实现.因此,遇到一个涉及正整数的命题,首先要考虑有没有简单直接的方法来证明它;如果没有,就可以用数学归纳法来试一试.

   4.例1的设计意图与教学建议

   例1既呼应了引言中的问题,也使学生熟悉用数学归纳法证明数学命题的基本过程和表述规范.教学时,教师可引导学生先回顾前面用不完全归纳法找到等差数列的通项公式的过程,再让学生分析题意、明确证明目标和证明步骤:首先,明确前提条件是什么（本例中“是等差数列”是前提条件,在证明过程中,是必须使用的);其次,“n=1时命题成立”到底要证什么;再次,第二步要证明的命题,其条件是什么,结论是什么,这一步的证明必须以“n=k时命题成立”为条件,再结合进行推理;最后,综合上述两步说明命题成立.这是第一个用数学归纳法证明的例题,教学中一定要对证明的表述规范强化到位,可根据往届学生在证明过程中出现的一些典型性和代表性的错误,结合第47页练习第1题纠正错误.

   本小节的两道练习题（第47页）可与例1联合使用,目的是让学生了解,等差数列和等比数列的前n项和公式除了用前面所学的“倒序相加法”和“错位相椷法”等方法证明之外,还可以用数学归纳法证明.