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潘奋 （上海市新中高级中学，上海 200072） 1 引言 基于新高中数学课程标准的上海市普通高中数学教材于2020年正式开始使用，区别于以往，本套教材将数学建模独立成册，数学建模成为了高中数学教学研讨的主题词. 数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程。[1]主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、构建模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题。文[2]提出了数学建模教学中应特别提倡采用小组学习、集体讨论、论文报告等以学生自主实践活动为主的教学形式。文[3]认为以应用题为主要方式的课内建模将是今后较长时期内建模教学的主渠道。文[4]指出建模教学可以排在正课的头或尾进行，教师要把重点放在设计问题、引导学生建立模型上，而把实际的求解过程放在课下，让学生独立完成或分组完成。数学建模教学是高中数学的重要内容，承载着提升学生学科能力和素养的重要使命。数学建模有着双重身份，它既是六大核心素养之一，同时也是教学内容。在“新课程、新课标”背景下，数学建模该如何落地？能否在课堂上实施数学建模教与学？数学建模课堂教学该采用怎样的课堂组织形式？这是作为一线教师最为关心的问题。 在传统数学教学中，一般会采用集体化授课的形式，这有利于发挥教师的作用，在提高课堂效率的同时，也能更好地把控教学进度。但数学建模有着其一定的特殊性。数学建模活动是以课题研究的形式开展，课题研究的过程包括选题、开题、做题、结题四个环节。相比以课时为单位的传统的数学教学，数学建模活动的开展是一个长期而又复杂的过程，由于学生自身经验的不同，发现与提出数学问题的角度会有所不同，即使是从同一个角度提出问题，由于关注点的差异，建立的模型也会有所不同，这种思维的差异性与多样性，更需要教师提供个性化的辅导，单一集体授课显然限制了这一点。 针对这些问题，基于笔者所在的数学教师建模团队实际，本文以《出租车运价问题》为例主要阐述了高中数学建模1+N模式教学实践的新尝试，希望本研究课题能给“双新”背景下数学建模教学的实施带来启发与参考。 2 1+N模式的教学问题 2.1 1+N模式的基本思想 高中数学建模1+N的模式指的是，以1位教师为主，N位教师协助开展数学建模活动的教学新模式。数学建模的课堂教学由教与学两阶段组成，即教师参与阶段的教学和学生建模阶段的教学。1+N的教学模式发挥了两种教学阶段形式的优势，有效地将集体化授课和个性化发展相融合，让数学建模的教与学在课堂的实施成为可能。 2.2两阶段的教学 2.2.1教师参与阶段的教学 数学建模活动的重要环节由主体教师有针对性地进行集体化教学，充分发挥教师的作用，在集体教学所特有的学习氛围中，高效、公平、系统地开展数学建模的教学活动，达到预设的数学建模的教学目标。比如在问题解读和分析环节。 2.2.2学生建模阶段的教学 采用分N个数学建模活动小组并由N位教师全程协助参与。在活动过程中，协助教师可及时发现所在小组学生在数学建模中可能会出现的问题，从而进行一些必要的干预和建议，同时可督促学生记录完整的建模过程，且在学生遇到困难时，给予及时的提示和协助，也能促进学生的个性化发展，以体现数学建模活动的有效性。比如在模型建立、模型求解和模型改进阶段。 3 1 +N模式的教学实践 下面，本文以出租车运价的建模问题为例来详述数学建模1 +N模式的教学过程. 3.1出租车运价问题案例 3.1.1问题的提出 近年来，考虑到社会经济发展水平提高、车辆运行和维护成本上涨等因素，某市出租车的运价准备上调。但上调后有些乘客会为此选择其他出行方式。怎样的调价方案是合理的呢？ 本次建模活动提出的问题比较宽泛，学生可以从不同的角度提出数学问题，比如乘客的角度、司机的角度、公司的角度甚至是政府的角度，培养学生从多角度思考问题的习惯. 3.1.2课时的安排 整个建模活动历时较长，要在课堂上开展建模活动的教学，首先将建模活动按环节分成两个课时： 第一课时主要是根据租车运价问题的实际情境，经历从不同的角度提出数学问题的过程，感悟数学与实际之间的关联，而第一课时包括在实际的情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型； 第二课时主要是撰写数学建模活动报告或拟出建模报告的大致结构，并包括确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题，第二课时可以安排在课下。 3.2 1+N模式的三个层面 数学建模的第一课时（60分钟）教学活动是一个从模仿到自主，从局部到整体的过程，因此我们将拆分后的每一层面，围绕活动目标分为三个步骤。步骤一为教学层面、步骤二为实战层面、步骤三为交流层面，层层推进以实现数学建模课程的成功完成。 3.2.1教学层面 在课始的20分钟，由主体教师面对全体学生，通过师生对话，共同完成本次建模活动的主要过程。这一步骤的教学由主体教师组织实施，包括问题的提出、组织学生自主讨论、选择一个角度引领学生经历建模活动的关键步骤（提出数学问题、模型的初步设计等），旨在给全体学生提供一个如何选题和开题的范例。 如在N=4的出租车运价问题中，主体教师选择了第i组学生，围绕小组如何理解“合理”，开展师生对话： 教师：你们小组提出的数学问题是什么？ 学生：设计合适的方案使得司机每月的净收入最高。 教师：你们小组认为，影响司机每月的净收入的主要因素有哪些？司机每月的净收入和这些因素之间存在着怎样的关系呢？ 通过主体教师与该小组的师生对话，从司机的角度提出影响司机收入的因素有哪些，提出这些因素需要基于哪些模型假设，并建立这些因素与司机收入之间的关系，给与了全体学生一个简单的范例，大大提高了建模活动的有效性。 3.2.2 实战层面 在课中的20分钟，在N位教师协助指导和支持下，N组学生分别自主完成数学建模活动的主要环节。这一步骤以小组为单位，学生为主体，老师协助参与，以步骤一为范例，结合小组自己选择的角度，通过师生、生生的互动对话，明确地把实际问题转化数学问题，建立初步的数学模型并完成数学建模活动的小结报告。如在出租车运价问题中，全班分成了4个小组，由4个老师分别参与。各个小组挑选了各自不同的角度——司机、公司、单个乘客和全体乘客，基于步骤一所给的范例，尝试提出问题、确定因素、模型假设、建立初步的模型。 3.2.3交流层面 在课末的20分钟，在主体教师的组织下，以小组为单位分享自己的小结报告，给学生以交流与展示的机会，在培养数学表达的能力的同时，通过听取与评价其他组的建模活动成果，反思本组所建模型的亮点和不足之处，并针对不足之处及时地修正与完善。主体教师针对各组建模的小结报告给予一定的评价，指出其优缺点，以便于在后续的建模活动中及时地改进。 3.3教学实施成果评价 3.3.1第一组学生从单个乘客角度建模 该小组提出的数学问题是：设计合适的方案使单个乘客每公里的平均支出最低。考虑到单个乘客每公里的平均支出主要与运单距离、每种运单的占比、起租价（每次乘坐出租车的最低租价）、超三公里起租里程价（出租车的运距超过起租里程部分的单价，上海市的起租里程为3公里）、超运距加价距离及超运距里程价（出租车的运距在超三公里起租里程后，若再超过一定的距离，则单价将会再次上调，该距离称为超运距加价距离，再次上调后的单价称为超运距里程价）有关，基于以上因素建立了单个乘客每公里的平均支出的数学模型。 第一组学生从乘客的角度将模型的目标设置为单个乘客每公里的平均支出，相对于直接考虑运价，更符合大部分乘客的实际情况。同时，该模型利用分段函数，清晰直观地刻画出里程数与运价之间的关系，也使该模型的数学表达更严谨准确。尽管对于乘客而言，主要考虑到的还是自己付出的运费，但若要对于一个政府方案的合理性做判断，仅考虑到单个乘客或者单笔订单的情形局限性较大，希望在后续的改进过程当中能够考虑得更加全面。 3.3.2第二组学生从公司角度建模 该小组提出的数学问题是：设计合适的方案使出租车公司的利润最高。考虑到公司利润与公司所收司机份子钱（出租车司机上交给出租车公司的承包出租车的费用）的总收入、公司享受的政府补贴收入、公司车载广告费的收益以及因车辆维护保养的支出、公司福利津贴的支出有关，基于以上因素建立了出租车公司利润的数学模型。 第二组学生因考虑了出租车公司的运营成本上涨的因素，从而找到了新的角度建立模型——公司。该小组以公司的利润为目标建立了函数模型，且该模型没有将运单分类，而是将公司的总运营里程分成三类，在便于运算的同时也更符合公司的立场。但是在模型的假设中，该小组假设了“司机份子钱单价的增长率和司机的跳槽率仅和调价后平均每单的价格相关”未必符合实际，还需在后续的建模过程中，通过相关的调查做进一步的确认。 3.3.3第三组学生从全体乘客角度建模 该小组提出的数学问题是：设计合适的方案使得乘客平均每单的支出最少。考虑到乘客的支出主要与各运距单价和超运距加价距离等有关，且为了直观对比调整前后的方案，该小组基于以上因素，将两种方案的平均每单价格差作为优化目标建立了数学模型。 该小组除了考虑到了各运距单价的调整外，还考虑了超运距加价距离的调整，从而将所有的订单分为四类。该模型对于方案中的变量考虑充分，主要变量设置合理，模型表示也十分清晰。但是在该模型中的第一类乘客没有考虑到低速等待对运价的影响，建议在后续的模型改进中做出相应的补充。此外模型中的变量（每种运单的比例）是通过大数据分析的方法获得，使得模型的结果更加符合实际，并且适用于不同地区，模型更具有代表性。 3.3.4第四组学生从司机角度建模 该小组提出的数学问题是：挑选合适的方案使得司机每月净收入最高。考虑到司机每月的净收入主要与营运收入、油费和份子钱有关 第四组学生从司机的总里程数的角度着手建立模型，既符合司机的视角还直观地体现了司机的净收入与单价调整之间的关系。在建立模型的过程中，该小组对问题背景进行了较合理的假设，从而在对结果影响较小的情况下简化了模型，使得数学表达更为清晰。该小组建立的第一个模型将不足3公里的乘客视为3公里一定程度上影响了模型的结果。为此，他们对模型做出了改进，通过将0到3公里的乘客进一步分为三类，并对数据进行了加权的处理与分析，且对这三类乘客赋以不同的权重，从而使得模型的结果更加符合实际。 4、1+N模式的教学剖析与思考 4.1关注1+N模式教学的整体性设计 1+N模式的教学是在1位教师为主和N位教师协助的组织形式下开展数学建模的教学活动，能有效地将集体授课和个性化发展相融合的同时，也解决了因单个教师个体经验不足，且无法顾及每个学生的现象。但是这不仅仅是组织形式的不同，更多的要关注建模活动的整体设计。1+N模式的数学建模教学一般安排在每学期特定的数学建模周展开。 4.1.1课前的准备 在建模活动设计的前期阶段，对1+N位教师的选择，可以是所执教班级的数学教师为主体教师，同一个年级的N位数学教师为协助教师，以建模活动团队的形式轮换进行。在团队中教师们可以高度协作，集思广益，明确主题，就现实问题进行情境设计，确定建模活动的目标与具体阶段的实施计划，以及对建模活动中可能出现的问题进行预设并提出相应的解决方案，从而形成初步的建模活动的教学设计。 4.1.2课中的实施 建模活动设计的实施阶段，是将行政班分为N个小组，在1位教师为主和N位教师协助的组织形式下，以小组为单位，针对教师或者教材给出的问题情境，学生自主提出数学问题，师生互动下，学生完成建立数学模型。在实施建模活动的过程中，N位教师不必过早参与学生的讨论，可以先留给学生一定的时间进行审题和讨论，在学生初步抽象出数学问题之后教师再加入，这样既能充分尊重学生想法，又有利于暴露学生在建模活动中存在的问题，从而增加师生互动对话的有效性。 4.1.3课后的调整 建模活动设计的评价调整阶段，是由N位教师通过对学生建模活动结果的评价与思考，将建模活动中存在的亮点、发现的问题及时反馈给主体教师，从而调整最初的建模活动设计，进一步优化和指导数学建模活动的教学，这种反馈可以在建模活动后进行，也可以视具体的情况在建模活动中进行。 4.2关注1+N模式教学中学生的个性化发展 高中数学建模1+N模式是以学生的经验为基础，在教师的协同下，学生自主进行的数学建模学习活动。教师应基于本次建模活动的重点，充分尊重学生的经验，不限制学生的创造力，鼓励和启发他们从多角度思考问题，在交流与合作中解决问题，促进学生个性化发展。如在《出租车运价问题》建模活动中，有一小组从乘客的角度出发，提出了要考虑超运距加价的公里数端点的改变，这是教师事先没有考虑到的，但是超运距加价距离的增加，会减少中远距离乘客的平均每公里单价，符合当下城区扩大背景下，乘客实际出行的需要，故教师应该肯定引入这个参数的合理性，并鼓励学生以此为突破口，继续完善修正模型，促进学生个性化发展。 4.3关注1+N模式教学中教师的地位与作用 在“1+N”模式下的建模活动中，主体教师的作用主要体现在整个建模活动的设计与实施，包括预备知识的讲授、对实际问题的解读、对学生思路的启发等。 对于N位教师的协助作用与1位教师的主体作用是同样重要的，这不仅体现在建模活动的实施阶段，更体现在前期的准备阶段和后期的评价阶段。在前期的准备阶段，N位教师可选定一个角度开展深层次的研究，包括针对同一个角度可以提出哪些不同的数学问题、针对所提出的数学问题提出哪些假设、建立何种数学模型等。在个人备课的基础上进行集体备课，分享与交流各自的研究结果，让每个参加教学的老师做到心中有数、有的放矢。在后期的评价阶段，因为N位教师是全程协助参与N个小组的建模活动，所以可以结合学生的书面结果、成果报告、过程表现，更加客观公正地给出每个学生综合评价，全面反映学生在数学建模活动中的达成状况。特别指出的是，在建模活动的实施阶段，教师在建模活动中的协助作用应是最小化的，教师不是该活动的引领者，而是与学生平等对话的参与者，是建模活动的催化剂。当学生遇到困惑时，给予适当的帮助，在讨论过程中发现学生的亮点时，给予肯定。如在《出租车运价问题》建模活动中，有一组同学考虑从司机的角度考虑这个问题，刚开始有同学提出利用单数的比例来建模，但是利用单数建模中间要考虑一些平均距离，这样建立的模型比较主观也会比较偏离实际情况，教师及时指出这一点可以提高学生的建模效率。 结论与展望 高中数学建模1+N模式的教学尝试，有效地将集体化授课和个性化发展相融合，也避免了因单个教师个体经验不足，无法顾及每个学生在课堂教学实施数学建模过程中的现象。本课题是我们在数学建模的教与学中的一种新的尝试，但也存在一些不足，如对不同学段的学生在建模活动中如何设计建模案例，在活动课时的分配上的合理性，也将是以后要研究的课题。 参考文献 [1]中华人民共和国教育部。普通高中数学课程标准(2017年版)[S]. 北京：人民教育出版社，2017:4-25. [2]张思明．数学建模的教育价值：访特级教师张思明[J]．教育研究，2001(7)：66-71. [3]赵明莲．在文本和模型之间——关于应用题建模教学和评价的若干问题研究初探[J]．数学通报，2009，48（4）：35-37，39. [4]王增艳．把数学建模方法渗透到中学课堂中[J]．教学与管理，2004，4：66-67. |
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