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在高等数学或者数学分析里,我们接触的函数多是由常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数经过有限次的四则运算和复合而成的.因此,这些由基本初等函数组成的函数称之为初等函数.我们会对给定的初等函数进行积分和求导运算,比如 注意到被积函数和原函数均是初等函数,其实也不难找到更多的例子佐证这一点.因此一个很自然的问题是:是否初等函数的不定积分仍然是初等函数? 其答案自然是否定的,有些初等函数的不定积分并非初等函数. 我们常常会见到这样一类不定积分: 你不论用什么已学的技巧方法都不能将其积出来,换言之无法找到被积函数的原函数.实际上,这些积分都不是初等函数.早期的不少数学家都在这方面做过研究,比如数学家Liouville就研究过"初等函数的不定积分在什么条件下是初等函数"这一问题.其中得到的一个结果可以证明上述均非初等函数.
注意到这一结果是比较漂亮的,我们可以利用该结果的逆否命题来说明一些初等函数的不定积分不是初等函数. 证明:反证法.假设是初等函数,则由该定理,可知必存在有理函数使得 考虑,则 显然常值函数在有限平面上无极点,所以在有限平面无极点,由此可知非有理分式函数.若是多项式函数,不妨设其次数为,则的次数为,显然矛盾.故而非有理函数,此即说明不是初等函数.同理可证,不是初等函数.将其变量代换,可知也非初等函数. 评注:值得注意的是,上述证明过程中出现了"极点"的概念.其实这里是用到了复变函数的知识,对于一个有理分式 注意到,均为多项式函数,故而并非处处解析.在证明的过程中,这条结论起到了至关重要的作用. 与该定理相关的还有其他一些结果,有的是给出了初等函数的原函数是初等函数的充分条件,有的则是给出了必要条件.其实微积分的结果俨然十分成熟,如果我们再花太大精力研究微积分内容,多半是没有必要的.当今数学发展十分迅猛,作为一名学生,如何较快跟上时代步伐才是值得深思的一个问题. |
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