不定积分

       学习完求导运算后，我们通过导数可以得到函数的性质（如：单调性、极值、凹凸性等），洛必达法则等。那么已知导函数能得到“求导之前的函数”吗，即求导的逆运算是什么？

应用

• 已知边际成本，如何求总成本？

• 已知速度，如何求路程？

• 已知切线斜率，如何求曲线？

原函数

定义

若在区间上满足：

则称是的一个原函数.

• 注记：原函数不止一个

  如：，可见均为的原函数.

性质

若为在区间上的任意两个原函数，则

那么

所以的全部原函数为：，即求出一个原函数加上任意常数即可.

不定积分

若，我们有

所以，并且时，，见下图（图中即为）.由于 为所有 的和，即，那么当时，可认为

因此取sum的首字母s并简记上式为：，由于可能被误认为是一个“新的单词”，我们将s拉长得到：

定义

区间内，的所有原函数，称为的不定积分，并记为：

若，则

几何意义

的不定积分：沿轴平移得到的曲线簇.

       会求不定积分后，基于牛顿-莱布尼兹公式，可以计算定积分。但很多时候，无法算出原函数从而定积分无法求解，这时我们可采用数值积分方法或蒙特卡洛方法。之前的推文中介绍过这些有效的数值计算方法，后续我们还会对比讲解。