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相信很多读者看到标题后,内心感到十分不解,心中不免存有疑问:为何数学中还有所谓的"空间"理论?产生这一疑问并不让人感到惊讶,其原因在于我们接触了太多的计算类型的数学,而对真正的数学理论知之甚少.举例来说,我们在高等数学课程中掌握了各种求数列或者函数极限的技巧方法,而对数学极限理论以及其真正的引入缘由却一无所知.数学其实跟其他学科有着相似之处,它们都需要建立一个理论框架然后才能深入进去展开研究,否则人们的不懈努力所得到的成果不具有一定的系统性.今天所谈及的内容其实并不突兀,从数学的定义来看,可见其合理之处. ★ 从定义来看,空间(space)也是数学所要研究的一个方向.在绝大多数人眼中,空间限制于一维空间、二维空间以及我们生活中的三维空间.从这些空间的名称来看,我们似乎已经将这些空间的维数确定下来了,那么数学中是否还有其他的一些空间呢?毋庸置疑,数学中所包含的空间是极其丰富多彩的. 1.本科数学课程中所涉及到的"空间"从绝大多数高校数学系本科所学课程来看,"高等代数"和"泛函分析"两门课中所涉及的空间尤为广泛.在此,我们将这两门课程中所涉及的空间概念罗列如下:
由上面的表格可以看出,数学中所涉及到的"空间"种类繁多,但是它们之间又并非是毫无关系的.在高等代数中,线性空间属于较大的一类空间,而欧式空间和酉空间属于较为特殊的一类线性空间,它们需要满足一定的条件.因此,要学好高等代数,不仅仅需要搞清楚矩阵的等价变换、相似变换和合同变换,最为重要的还要能够学好线性空间理论.因为从学习的角度出发,线性空间要比欧式空间和酉空间来得更为一般,只有大方向清楚线性空间的基本知识,才有可能深入研究更加细致的"小"空间. 高等代数里其实主要研究的还是有限维线性空间理论,与有限相对应的是无限(infity),于是泛函分析这门本科课程的研究对象非常明确,研究的是:无限维线性空间理论.正因为高等代数和泛函分析所研究的空间均是线性的,因此在很多方面高等代数里的结论可以适当"平移"+"修改"到泛函分析里面去.但更为深刻的一点是,在数学系的研究生阶段,学生还有可能接触到非线性泛函分析.因此,泛函分析不仅仅是涉及到无限维线性空间理论那么简单了,还有很多其他更加抽象的概念和理论蕴含于内,比如非线性算子和Hammerstein积分方程等概念.
以上可以看出两门课程之间的一些概念具有相通之处,但往往泛函分析里面的一些对象要更为复杂一点.正因为泛函分析理论体系更加强大,因此现如今的很多数学分支都需要泛函分析作为理论支撑,比如偏微分方程(PDE)、概率论等. 2.引入"空间"的必要性先前笔者其实也谈到,当今数学体系庞大以至于分支过于细化,同一方向之间或许也存在一定的理解障碍.诸如现在所谈及的"空间",其实多在"分析学"里面用到.研究函数时候,我们特别喜欢在函数空间里面讨论;而涉及到泛函时,我们往往需要假定所研究的空间为巴拿赫(Banach)空间或者其他空间.特别地,像偏微分方程领域里,我们特别喜欢将空间限制在Sobolev空间下,当然更为深层次的研究中空间也会变得更加抽象.那么,很自然的问题是,我们为什么需要引入"空间"? 明显地,能够恰当地回答这一问题是极其困难的.依笔者现在所学习的领域来看,偏微分方程的解往往想要保证其存在性、唯一性和稳定性.单从前面两点来看,我们对函数所处的空间是有一定的要求的.以二阶椭圆型偏微分方程为例, 这里的是一个算子(operator).考虑,其中和均为函数空间,我们特别希望确定合适的函数空间以保证偏微分方程的解具有良好的性质,当然这对系数也会做一定的要求. 借助这个例子,笔者认为引入各种各样的"空间"是为了能够将问题放在合适的框架下展开研究.我们定义空间并非是做无用功,对空间本身的研究也并非是徒劳之举,在对空间明了之后才能对局部对象展开细致分析.不论是研究函数抑或是讨论泛函,我们不免需要了解其身处的"空间"性质是怎样的,由此可导出一系列相关的结果.当然,这仅是笔者目前肤浅的看法,或许若干年后想法大有不同也未可知矣.
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