据说最新高考改革方案中的数学考试占有重要份额，由此联想到为什么'社会这样喜爱数学'这个教育问题。既然数学被民众'重视'到了如此地步，索性就让大家看看高深数学王国中一些一线城市的风貌。只要大胆和坚持，保证会有点滴收获。
面对数学的峦峰，其实所有的数学人都是数学努力进程中的无穷小量。对那些让我们崇拜与尊敬的伟大数学家们而言，当对比广博的数学同仁时，他们才是数学努力进程中的无穷大量。要想成为数学的无穷大量型人才，第一件事就是在心理上必须解除任何的“名人未解、自己无望”的悲观研究心理障碍，使得自身处于完全无约束的能量自由勃发状态，然后才可能真实地验证出自己的数学价值。非数学人士其实可以类似地打开自己数学心扉和挖掘数学潜能。在数学成才教育中，学生自身的潜能、兴趣、能力、志向、毅力、勤勉与自信等微观元素的宏观合成是至关重要的数学教育成才技术。在数学教育心理学洗礼之后, 广大数学爱好者非数学符号地进入现代核心分析数学的海洋中畅游, 不失之为一条快速提高数学素养的捷径。撰写本文的动力是教育成才理念的鼓舞，而非作者学识之因。泛函分析，调和分析，复分析，随机分析，偏微分方程和大范围分析等核心分析数学学科的知识宝库足以让代代数学人追求永远，因而个人之力就是个微重力而已。数学的雄峰虽难以撼动，但通过教育的望远镜却可以领略其几何的教育外貌，这也许正是本文的微小作为之处。泛函分析是现代分析数学的重要分支之一，其深远的理论体系和广泛的应用价值已经对现代分析数学，乃至现代科学技术领域都产生了重大影响。大学本科阶段的泛函分析课程主要以线性泛函分析中的赋范线性空间及其上的有界线性算子理论等一些最基本内容为主。研究生阶段的线性泛函分析主要介绍紧算子与Fredholm算子、Banach代数、无界线性算子、线性算子半群、广义函数、Hilbert-Schmidt算子与迹类算子等内容。研究生阶段的非线性泛函分析课程一般简要讲授Banach空间上的微积分学、隐函数定理与分歧问题、拓扑度、单调算子以及变分方法等基本内容。泛函分析的主要研究方向为: 线性算子谱理论、函数空间、Banach空间几何学、算子代数、非交换几何、应用泛函分析以及非线性泛函分析的相关研究方向等。泛函分析是经过数学分析、高等代数和空间解析几何的“升空式洗礼”，而从“地上”到“天上”的一个数学抽象推广过程。有限维空间的几何理论以及从有限维空间到有限维空间的映射理论是大学数学专业一二年级的主要学习内容。若只考虑线性映射的运算性质，那就是线性代数。若考虑非线性映射的连续性与光滑性，那就是微积分。若把有限维空间的距离概念推广到无限维空间，再考虑相应的线性映射与非线性映射的连续性以及光滑性，那么就自然而然地走到了泛函分析的疆界。数学分析，高等代数和解析几何的很多结论在泛函分析层面上都有相应的推广结论。注意到这一点之后，又可以从“天上”回到“地上”了。把有限维换成无限维，以及欧式度量换成抽象度量，想法还是一样的想法，但现象却是作为拓扑、代数、几何与分析的融合体的泛函分析了。分析、代数、几何与拓扑的数学思想方法的交融是泛函分析发展壮大的力量之源。泛函分析已经成为现代分析数学的必要工具之一。Fields 奖获得者J. Bourgain，A.Connes，W. Timothy Gowers，A. Grothendieck, L. Schwartz 及Wolf奖获得者I. M. Gelfand，M. G. Krein等著名数学家在泛函分析领域都做出了巨大成就。（1）M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, I – IV, 1970’s。（2）K. Yosida, Functional Analysis, 1980。（3）J. Barros-Neto, An Introduction to the Theory of Distributions,1981。（4）张恭庆，林源渠，泛函分析讲义，上册，1987。（5）张恭庆，郭懋正，泛函分析讲义，下册，1990。（6）W. Rudin，Functional Analysis，1991。（7）Alan Connes，Noncommutative geometry，1994。（8）P. Lax, Functional Analysis，2002。（9）Kung- Ching Chang，Methods in Nonlinear Analysis，2005。调和分析是现代分析数学的核心领域之一，其辉煌的成就让一代代分析学家为之倾倒与奋斗。按照华罗庚先生的说法，把已知函数展开成Fourier级数的运算就叫做调和分析。事实上，调和分析也正是从Fourier级数和Fourier变换理论的研究开始发展壮大的。从物理的观点，调和分析就是要把信号表示为基本波“调和子”的超位置叠加。几个世纪以来，调和分析已经形成了庞大的学科体系，并在数学、信息处理和量子力学等领域有着重要和深刻的应用。从应用角度来说，有效确定Fourier级数问题的运算称为实用调和分析。有限调和分析是实用调和分析的主体框架，即从有限个数据所应计算的最恰当的项数的角度，从有限到有限的思想方法来解决实际问题的Fourier方法是有限调和分析的应用价值所在。再从物理的角度，人们可以发现量子力学中的测不准关系有着调和分析版的解释，即 Paley – Wiener 定理所描述的非零紧支集广义函数的Fourier变换没有紧支集。抽象调和分析是调和分析更深入的现代数学分支，即研究拓扑群上的调和分析理论，特别是Fourier变换理论。Abel紧群的Ponteyagin对偶理论是调和分析特征在现代数学处理中的合适写照。对一般的非Abel局部紧群来说，调和分析是与酉群的表示论密切相关的。经典卷积的Fourier变换是Fourier变换的乘积的性质可以通过对紧群的Peter-Weyl 定理有所升华体现。当群既非Abel又非紧群时，一般的抽象调和分析理论还不是很完善。例如，是否此时存在Plancherel定理的类似物还不知道。但是在许多特殊情况下，通过无穷维表示技术是可以分析一定的相关问题的。下面主要对上的调和分析内容进行简要的描述，以便对调和分析方向的研究与学习有一点点便利。覆盖技术、极大算子、Calderón–Zygmund分解、内插技术和奇异积分算子是现代调和分析的基本内容。覆盖技术不仅是测度论的重要工具，也是调和分析的主要方法之一。Hardy–Littlewood 极大算子理论的建立与覆盖技术息息相关。上的H.- L极大算子理论主要体现了一类非线性算子的-有界性理论，并且可以解决很多现代分析的重要问题。Calderón–Zygmund分解技术是研究奇异积分的实变量分析的关键方法，即把任意的可积函数拆分成“小部分”和“大部分”的和，然后用不同的技术分别处理各个部分是其思想精华所在。奇异积分算子是由带有奇异性的积分核所产生的。奇异积分算子的-有界性问题是重要的研究问题之一。奇异积分算子的理论目前已经很是丰富了。从Fourier级数和Fourier变换的经典Fourie分析到Hardy–Littlewood 极大算子和奇异积分算子等理论，可以认为是调和分析的一次飞跃。调和分析的另外一次重大飞跃应该是-空间（Hardy空间）、有界平均振荡函数的BMO空间和-权理论的建立与完善。笔者认为：调和分析的最后一次飞跃也许是调和分析方法在分析学科的世界级数学猜想的解决方面的有效实践问题。Hardy空间的研究起源于Fourier级数和单复变量分析，至今已经有丰富的内涵，特别是高维实方法的介入，使得-空间理论有了本质性的现代发展。有界平均振荡函数的BMO空间，也称为John- Nirenberg空间，是在分析大师F. John和L. Nirenberg首次研究了该空间的拓扑性质的基础上而给出精确定义的。-空间，BMO空间和-权理论是现代调和分析的三大发明。C. Fefferman获得Fields奖的主要工作就是，在L. Nirenberg工作的基础上，发现了BMO空间是-空间的对偶空间。BMO空间在分析数学的众多领域和概率秧论中都有重要的应用。在BMO空间基础上，L. Nirenberg与H. Brezis合作，还发现了作为BMO空间的子空间的VMO空间（消失平均振荡空间），特别是将拓扑度理论推广到属于VMO空间的映射结果使得拓扑学家为之惊叹。-权理论在奇异积分算子有界性研究中有着重要作用。R. R. Coifman 和 C. Fefferman 对-权理论的建立做出了重要贡献。我国世界级数学家华罗庚先生在经典调和分析领域取得了世界领先成果。他的名著《多复变函数论中典型域上的调和分析》曾获得首届国家自然科学奖一等奖。北京大学的调和分析学派为中国调和分析方向的人才培养做出了巨大贡献。获得过Wolf奖和 Fields奖的调和分析名家有A. P. Calderón，C. Fefferman，E. M. Stein，T. Tao等。（1）E. M. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, 1970。（2）E. M. Stein, G. Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, 1971。（3）E. M. Stein, Harmonic Analysis: Real Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, 1993。
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