【原】每周"数"题+Zorn引理 |2020.4.8

学习数学尤其要静心!倘若你是心情烦躁地开始数学学习,那么很难说你能学到点东西.当你打开数学书的那一刻起,也许你就被那些繁琐的数学公式和符号搞得头晕脑胀,比如

泰勒公式:

其实绝大多数人学习泰勒公式时都没有领会其真正的用处,因此学习起来会感觉到丝毫没有趣味性.首先注意到,泰勒公式左端为一般的函数,而右端却是一个多项式函数.咦?你会惊奇地发现这两者之间居然可以建立起来一个等量关系.请注意,在数学上这些"＝"号的出现是极其美妙的,因为它说明了两个事物之间具有等价的关系.正如我们之前的欧拉公式,自然常数、整数1和0、无理数均为实数,而虚数却属于复数,它们之间居然有着这么神奇的关系,用一个等式就可以描述:.

泰勒公式描述了多项式函数可以逼近一般的函数,这意味着我们在实际数值计算时可以用多项式函数代替一般的函数.但是要注意到对函数是有一定要求的,换句话说,函数不够光滑或函数在某点的各阶导数值情况未知的条件下,那么泰勒公式自然就失效了(doesn't work).表面上来看所有数学公式都是准确无误的,但是它总是要限定在一定条件下才能成立.非常有趣的是,很多人认为数学总是无懈可击的,但是这并不是严谨的说法.比如下面的佐恩引理(Zorn lemma)已经是数学界的基石,但是却还未有人严谨证明(笔者注:难道是在等待着我吗?).

Zorn Lemma:设为非空半序集,它的每个全序子集在中均有上界,则至少有一个极大元.

上述的Zorn引理应用极其广泛,据说数学成果的半壁江山都要依赖于该引理,它主要是在导出某些数学对象存在性时非常有用.我们举出其在分析学中的应用:

• 基本的Hahn-Banach定理的证明;
• 任何内积空间具有极大的规范正交系的证明;
• 任何向量空间具有Hamel基的证明;
• 上Lebesgue不可测集的存在性证明;
• ......
  
  

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微积分

1.计算其中为,的边界线.

2.计算二重积分

其中积分区域.
(提示:考虑区域的对称性将区域分为四个部分.)

3.求由确定的的极值.
(提示:利用隐函数求导方法确定.)

4.已知平面区域计算二重积分.

常微分方程

5.(拉普拉斯变换)求指数函数(是常数)的拉普拉斯变换。

6.(基解矩阵)求解微分方程组

7.(S-L边值问题/施图姆-刘维尔边值问题)试求边值问题

的特征值和相应的特征函数(这里设常数).

概率统计

8.设总体在上服从均匀分布，未知.是来自 的样本，试求的矩估计量。(注：主要考查矩估计法)

9.设.是来自样本的一个样本，试求参数的最大似然估计量。(注：主要考查极大似然估计法).

10.设样本来自总体,

试确定常数使得服从分布.

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三天不学习，赶不上刘少奇；一天不用功，赶不上毛泽东！

”