1.三角比的简单回顾三角比章节中已经介绍过三角比的基本概念，并且推广了任意角的三角比。我们曾得出以下基本事实： （1）如果将任意角置于平面直角坐标系中，角的顶点与原点 重合，始边与轴的正半轴重合。若我们取角 的终边上任一点，设点的坐标为，则有 其中，表示到原点的距离,即. （2）同角三角比的关系： 同样地，我们运用三角比的基本定义与公式，可以推导出同角三角比中的一系列的倒数关系、商数关系和平方关系。 （3）任意角的四组诱导公式. 基于以上所学，我们可以有方向性地求出某一个角度的三角比。然而，在实际生活中，我们常常需要求一些非特殊角 的三角比，比如求。如果我们使用基本定义去求解时，往往计算量比较大又不太方便，因此简化其计算就显得十分必要了。 2.两角和与差的余弦公式回到前面所提的问题，即如何简化计算使得 这类非特殊角的三角比变得容易求出。在数学上，我们经常会把未知的问题转化到已知上去，因此在这里我们的处理方式也不例外。我们注意到： 而我们又注意到和的三角比是已知的，因此我们现在把问题转化到了如何求 即如何求两个特殊角的和与差的正余弦值?在此，我们先将该问题一般化，即如何求出任意两个角和与差的正余弦，即求 两角差余弦公式及其推导过程我们设为两个任意角，并把它们的顶点都置于平面直角坐标系的原点，始边都与轴正方向重合，它们的终边 分别与单位圆相交于 两点。依据我们前面所学内容，即可推知：点坐标为,点坐标为。由于圆是单位圆，因此 。由于角度之间的数量关系，因此可以求得。下面我们考虑，亦即和的数量积。 一方面，依据数量积的基本定义，我们得到 另一方面，依据坐标表示下的向量数量积公式，可得 结合（1）（2）式，得到两角差的余弦公式： 两角和余弦公式及其推导过程我们运用向量的基本知识，在单位圆内推导出了两角差的余弦公式，那么我们是否需要仿效上面的做法推导出两角和的余弦公式呢？ 在这里我们注意到两角和与两角差的余弦计算中，差别仅仅在于与 而已。事实上，在数学中，加法与减法互为逆运算，而相对应地加号与减号之间可以相互转化。举个例子，在学习有理数的时候，我们就学习过一个正数可以写成一个负数的相反数的形式，即 与之相似的是，我们也可以作这样的代换抑或是改变其形式，在这里即将改写成，因此以下推导就显得极其合理。 至此，我们便已经得到了两角和的余弦公式： 我们在本节的开头就曾提出一个问题，相信读者在阅读至此仍然还有些许印象，在这里我们将不厌其烦地重述这一点。
尽管我们已经花了大量功夫去研究任意角和与差的余弦值，但是我们仍然不能直接得到任意角和与差的正弦值，这不禁让人感到遗憾。然而，我们总是可以在正余弦之间做自由地互相转化，而不用去考虑其不可行性。基于这样的考虑，我们便可以进行如下的尝试： 我们在以上具体实际操作过程中，发现了一个角度拆成了两个角正余弦的代数式形式，即 由此，我们可以猜测出对于任意两角和的正弦公式：两角和正弦公式及其推导过程我们运用以上求的思想方法，可以归纳出任意两角和的正弦公式。现在我们给出一般的推导过程: 【说明】在以上推导过程中曾多次使用过诱导公式，请指出每一步使用了哪些诱导公式。 两角差正弦公式及其推导过程据上我们已经得出了两角和的正弦公式，在此我们可以仿效之前的做法，将替换成 ，即得到 这就是两角差的正弦公式。 值得我们去思考的是，我们已经知道了两角和与差的正余弦公式，那么是否有两角和与差的正切公式呢？ 3.导出两角和与差的正切公式事实上，对于两角和与差的正切公式而言，其推导可能就不大容易从单位圆内看出，因此我们需要考虑其他途径来导出两角和与差的正切公式了。对于正切而言，其跟其余三角比之间的关系莫过于有 从这个角度出发，不难想到我们需要利用上式来间接求出两角和与差的正切公式。由于 在保证不为0的情况下 ，我们可以对上式最右端分子分母同时除以，化简得到 这就是两角和的正切公式。 相类似地，我们为了得到两角差的正切公式，也需要用替换成，所以得到两角差的正切公式 关于这个公式的详细推导证明，也是很平凡的，请读者自证之。 |
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