【原】数学讨论班：非局部交通流的稳定性| 2020.9.27

笔者的主要研究领域是:偏微分方程中的双曲守恒律.一般来说，偏微分方程分为三大类:椭圆、抛物和双曲.这三类方程由于形式和结构上差别很大，所以导致研究它的解存在性、唯一性、正则性(光滑性)、稳定性等问题所采用的方法会有所不同。像偏微分方程中的极值原理，常常在抛物型和椭圆型方程中应用广泛，特别是在考虑解的唯一性问题时极值原理可以起到良好的作用。只是需要注意的是，极值原理的变式有很多，每次使用极值原理时需要考虑相应的条件，不可乱用!

双曲型方程一般无法使用极值原理去处理问题，往往采取的方法是所谓的特征线方法。可以这么说，如果特征线理论掌握得不够扎实的话，研究很多双曲型方程问题就会感到特别吃力。毫不惊讶的是，双曲守恒律作为双曲型偏微分方程的一个细小分支，其研究的基本工具也是特征线理论。

一想到守恒，我们自然联想起物理中的三大类守恒:质量守恒、能量守恒、动量守恒。的确，从双曲守恒律问题研究的出发点来看，它起初就是从流体力学中相关问题抽离开来的。流体力学中会时常出现的两大类方程是Euler方程和Navier-Stokes方程,这两类方程的结构都较为复杂，而且根据所选取的坐标系不同(欧拉坐标和拉格朗日坐标)形式也会有所差别。在流体力学中，也会遇到所谓的可压缩和不可压缩情况，这是需要格外留心的!目前关于Euler方程和Navier-Stokes方程的公开问题有:

• 三维不可压缩Navier-Stokes方程的全局正则性;
• 不可压缩Euler方程的奇异性;
• ......

从上述公开问题中可以看出，现在流体力学中仍有不少难问题亟需要人们解决。然而，真正敢动这些问题的人寥寥无几。双曲守恒律中主要研究的方程是

根据问题的划分，大致上可以考虑Cauchy问题和Riemann问题，其实两类问题的不同点在于给定的初值条件。根据方程的个数，我们可以考虑单个方程和系统方程，英文名分别是single和system。运用双曲守恒律的系统理论去解决交通流的一些问题，这就是笔者目前所要做的一些工作。

传统的交通流模型有Lighthill-Whitham-Richards(LWR)模型，Payne-Whitham模型，Aw-Rascle模型等，特别像是Aw-Rascle模型是一个二阶模型，其中的理论还有未完善的地方。此外，还可以考虑局部和非局部情况。

1.1 Background mathematical model

The LWR model is

这里的 表示交通密度,表示交通速度,和表示空间和时间坐标.

Remark:上述中速度和密度之间有关系式:

注意观察这是与局部有关系,因此LWR模型(1.3)是典型的local模型.

1.2 Nonlocal LWR model

Nonlocal LWR model:

这里的.

Remark:这篇文章的主要目的就是分析上述模型的渐进稳定性.

上述内容是笔者从杜强教授所写的论文“STABILITY OF A NONLOCAL TRAFFIC FLOW CONNECTED VEHICLE”中整理得到的.下面是笔者所作的一些分析和讨论，有些地方若有问题欢迎大家一起讨论交流，另外谷歌学术上可以找到该文章。

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【注】上述仅是个人观点，未必经得起推敲，欢迎点击下方参与讨论。