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偏微分方程是现代数学的一大理论分支，由于它的体系过于庞大，因此很难用统一的一套理论框架进行研究，这点是与代数几何截然不同的地方。笔者先前在本号中介绍过学习偏微分方程过程中所要学习的不等式，可以详细参考微信推文：数学分析和泛函分析里的一些基本不等式。 我们特别强调的是，偏微分方程可以分为三类:椭圆型、抛物型、双曲型。这种分类方式其实有原因的，具体可以参见任何一本偏微分方程书籍。那么，读者必然好奇，要想入门偏微分方程，那么应该看看哪些专业参考书呢？ 笔者不才，作为一名偏微分方程方向的研究生，姑且在这里班门弄斧，粗浅介绍一下有哪些数学书可以参考。因为数学系学生在本科阶段一般要学习偏微分方程的低阶版本——数学物理方程，因此这里先介绍学习数学物理方程的教材。 重计算的这本书：王明新教授的《数学物理方程》这本书是笔者本科时期数学物理方程课程教材，当时学习这本教材时，深深觉得这本书特别强调计算能力，反而对数学理论部分的讲解放置在了后面。这样的处理方式优点或许在于帮助学生掌握怎么计算，但是对于理论把控这方面可能就很难锻炼到。尤其是对于双非院校的学生，可能因为课时的原因，无法上到理论部分的知识，致使自己只能自学数理方程的相关理论。 重理论的这本书：复旦数学系的《数学物理方程》这本由复旦谷超豪院士主笔的《数学物理方程》是一本非常重理论的教材，对于计算的讲解稍微弱了一些。这点很好理解，这本书原本作为复旦学子的上课讲义，因此计算这部分不需要花太多时间让他们刻意练习。数学里面总是这样，它的理论抽象很难深刻理解，对于那些计算层面的东西只要按照方法运行即可。关于这本书的详细介绍，可参考陈跃老师写作的“从历史角度讲偏微分方程”。 这里还有其他的适合本科阶段学习的数学物理方程课程的好书，这里就不再过多介绍了。值得注意的是，国内有一些名校本科阶段就开始学习索伯列夫空间的相关知识，因此涉及到索伯列夫空间的偏微分方程的理论优质书籍就显得尤为必须。 大块头：Evans的《偏微分方程》这本书可以称得上学习或者研究偏微分方程理论的必读之书，其作用是帮助我们了解一下三类偏微分方程的相关理论知识。特别是，当偏微分方程与泛函分析发生交集的时候，这本书会告诉你它们二者是如何擦出爱的火花？ 最为重要的是，这本书是自封闭的，它可以视为一本重要的参考书，尤其是附录部分更是为你扫平一些阅读障碍。 笔者这里改编鹿鼎记里的一句台词: “ GTM214：Jost的《偏微分方程》GTM中也有介绍偏微分方程理论的书籍，那么这本书笔者在研一的时候就已经购买了。个人的体会是：这本书内容很是详细，而且排版优美，可以跟Evans的教材对照着看。 涉及到偏微分方程的国外好书还有很多，比如以下这两本:
对于偏微分方程教材而言，有一些是针对具体的研究方向的，比如有的教材主要是针对椭圆型方程进行介绍的，比如下面这本书就是典型的大块头。 椭圆型巨擘:David Gilbarg和Neil S.Trudinger的《二阶椭圆型偏微分方程》这本书是笔者研一时期上偏微分方程课时老师用的教材，当时看到这本教材时，就觉得这本教材难度比较大，要比Jost的书难度更高一些，而且更加针对椭圆型偏微分方程，其中可能会涉及到很多估计等等。 这本书特别适合椭圆型方向的研究生阅读，毕竟针对性极强。 抛物型专著:这本书是笔者无意中从同学那里发现的，陈亚浙老师写作的这本书更多地是介绍抛物型偏微分方程。在国内，研究抛物型偏微分方程理论的包括但不限于以下几个方向：反应扩散方程、金融数学等。尤其是后者的领域里面，会涉及到所谓的Black-Scholes方程，这个方程就跟二阶抛物型方程有着密切的联系。 这本书特别适合反应扩散方程、金融数学方向的研究生阅读。 双曲型书籍:双曲型偏微分方程一般被视为在三大类方程中最为困难的一类，它的主要原因或许在于解的正则性比较差，然后抛物型与椭圆型里面的一些方法没法直接用在双曲型方程里面。因此，对于双曲型偏微分方程，它的一大灵魂就在于:特征线方法。 说实话，笔者恰好就是在做双曲型偏微分方程方向的，学了两三年，特征线方法也没有能够灵活运用。 双曲型偏微分方程里面包括了双曲守恒律和流体力学等问题。关于流体力学，笔者不是特别清楚，就简单介绍一下双曲守恒律方面的教材吧。 双曲守恒律这门课的经典教材主要是下面这本书: 这本书已经是绝版了，淘宝上价格昂贵，大概要1200多元才能买到了。下面这本书是Joel Smoller写的激波和反应扩散方程的书籍，其中也会提到双曲守恒律的知识，比较通俗易懂。 复旦大学陈恕行院士也是从事双曲型偏微分方程的理论研究，由陈院士写作的《现代偏微分方程导论》也是一本不错的参考书，值得细读。尤其是排版上也很精美，简直是热爱数学公式的人的必藏之书。让笔者印象深刻的是，这本书介绍算子半群的内容，比较通俗易懂，逻辑很清晰，学到很多。 结语笔者从研究生入学开始，读了一些偏微分方程的教材和书籍，临近毕业，故将笔者认为的一些讲解得很不错的“偏微分方程”书籍罗列其中。一个不争的事实是，国内以总纲领的形式全面介绍偏微分方程理论的书籍比较少，这在其他分支学科上也是一件常事。 事实上，读这些书未必能帮你找到很好的工作，但是可以告诉你:研究生数学的学习基础是什么？如果身边有人从未读过一些数学书籍，还要侃侃而谈大学数学理论的话，不妨将本号的一些文章给对方看看。 数学之艰深，应当要引起我们的敬畏。 |
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