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【我感觉这篇文章已经照顾不到初中读者了】 ======= 注意，由于排版功能无法实现数学公式，本文出现的数学公式全部以截图显示，遇到排版别扭的请猛击分享，不能只有你一个人受伤，让难看的排版恶心更多的人吧~ ======= 上一篇文章中我们讲到了e最初是怎么被定义的： 【这么写是为了方便中学生理解，严格的写法是 这是e最原始的定义，但e还有其他定义，正如你可以定义三条边的是三角形，也可以定义三个角的是三角形。它的另一个常见定义是这样的： e = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ... + 1/n!，其中n趋于无穷 【同样，严格的写法应该是 Fine，既然你给了这么一个新的定义，你就得设法证明这个定义和先前的那个描述的是同一个东西，那么我们要怎么证明 当n趋近于无穷时，e = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ... + 1/n!=(1+1/n)呢？ 首先，你们知道二项式定理吧，就是下面这个 其中的括号里面有个（上n下k）的那个，对，就是上面那个n和k放一个括号的那个， 就是我们常说的组合，也就是，写出来是这个样子 如果知道这个就好办了.(什么？你刷不出图片？回家再试试~ 根据二项式定理有： 好的，那么现在我们就只取到这个式子的第k项，每一项都是正的，所以显然 当且仅当n=k时等号成立 现在我们再拿出另一条数列：1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ... + 1/k!来做比较，因为形如下图的两个式子总是≤1的（n趋近于无穷时能等于1） 所以就有：
当且仅当n趋近于无穷时等号成立 现在我们让n趋近无穷但不让k趋近于无穷，这两个式子相等，于是有：
综合一下我们就有：
此时我们再让k＝n，于是不等式最右边也是e，不等式最左边也是e，那自然不等式最中间也只能是e了，这在大学叫夹逼准则，名字有些糟糕但是个很好用的定理 因此利用夹逼准则我们就可以知道e还可以等于1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ... + 1/n!，但我们上一篇文章还讲到：
对这么个式子用刚才的办法夹逼一下我们会得到什么？具体步骤我就不写了，总之最后的结果是：
学过高数的朋友看到这就会喊泰勒展开，没错确实就是泰勒展开，我们在不知道导数的情况下摸到了和泰勒展开一模一样的式子，这有什么用途？用处就是可以用来验证的导数是它本身而又不会陷入循环论证（有些人会用泰勒展开证明的导数就是其本身，但你能泰勒展开的前提就是你得知道的e的x方导数，故陷入循环论证） 上面那段话是给学过泰勒展开的人看的，所以看不懂也没事，下面这段话是给学过导数的人看的，让你知道e的x方和ln x的导数是怎么来的： （由于以下论述用word结合公式编辑器阅读，写在网页街面上简直惨不忍睹，故作截图处理）
===本文完======== |
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