多年来,数学家们一直使用计算机来生成数据以帮助搜索数学模式,这种被称为实验数学的研究方法产生出许多重要的猜想,例如BSD猜想。虽然这种方法已经取得成功并且相当普遍,但从这些数据中识别和发现数学模式仍然主要依赖于数学家。 论文地址:https://www./articles/s41586-021-04086-x
拓扑难题低维拓扑是数学中一个活跃且有影响力的领域,DeepMind发现了纽结代数和几何不变量之间的关系,建立了数学中一个全新的定理。这些不变量有许多不同的推导方式,但DeepMind主要关注两大类:双曲不变量和代数不变量。这两种类型的不变量来自不同的数学学科,因此在它们之间建立联系是非常有趣的。 下图显示了纽结不变量的一些例子。 DeepMind假设在一个纽结的双曲不变量和代数不变量之间存在一种未被发现的关系。监督学习模型能够检测大量几何不变量和signature σ(K) 之间存在的模式,并用归因技术(attribution technique)确定最相关的特征。下图(a) 显示了cusp几何的三个不变量,图 3b 中部分地显示了其中的关系。 表示论难题 组合不变性猜想指出某些有向图和多项式之间应该存在关系。DeepMind使用机器学习方法确认了这种关系确实存在,并确定其可能与称为破碎的二面角区间(broken dihedral interval)和外反射(extremal reflection)的结构有关。有了这些知识,Williamson教授就能够发现一个令人惊讶的算法来解决组合不变性猜想。 组合不变性猜想作为一个关于 KL 多项式的开放猜想,已经存在了约40年,但只有部分进展。在理解对象之间关系方面取得进展的一个障碍是 Bruhat 区间。下图给出了小 Bruhat 区间及其 KL 多项式的例子。 DeepMind的研究把组合不变性猜想作为初始假设,利用机器学习的方法发现了一个能够预测 KL 多项式Bruhat区间的监督学习模型,并且具有相当高的准确率。通过测试将 Bruhat 区间输入网络的方式,研究者发现某些图表和特征的选择特别有助于准确预测。特别地,借助更准确的估计函数,研究者还发现有一种受先前工作启发的子图足以计算 KL 多项式。 该研究已经在超过 300 万个示例中对新算法进行了计算验证,下图是表示论归因的例子。 研究者进一步探究了机器学习是否可以阐明不同数学对象之间的关系。下图显示了两个「Bruhat 区间」及其相关的「Kazhdan-Lusztig 多项式」其中,Bruhat 区间是一个图表,它代表了通过一次只交换两个对象来反转对象集合的顺序的所有不同方式。KL 多项式能够告诉数学家一些关于该图在高维空间中存在的不同方式的信息。当 Bruhat 区间有 100 或 1000 个顶点时,有趣的结构才开始出现。 |
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