16.3 带电粒子的反磁性带电粒子在磁场中会走圆圈轨道。这圆圈会产生和外加磁场
反向的磁矩，造成反磁性。但这样的看法并不可靠，图 2 示一些
轨道，磁场向下， (假定电荷为正)，圆圈轨道的磁矩向上，现
在我们在气体中任取一区域， (图 2 的虚线内)。完全在区内的
轨道造成向上的磁矩，但靠边的轨道却造成反时针的电流，形成
向下的磁矩。
我们可以证明在区内的总磁矩为零，如下: 一个轨道的磁矩 是和 成正比。积分是沿着轨道做，如果轨道是一整圈，则是圈内面 积。现在假定磁场指向 方向，轨道都在， 平面内， 方 向的运动略去。如果一轨道在图 2 区内，则 方向指向， 是圈圈的半径。如果轨道有一部分在区外，就 比较麻烦，令 为圆心的位置，则 图 3 是图 2 中右边的轨道的放大图。(26) 右第一项的积分是 为方向的单位矢量。凡是中心在距边界 之内的轨道，都 不全在区内，这样的轨道在 长的一段边界内有 个。是粒子密度(人口面积)，因此，这些靠边的轨道的总 磁矩是，由 (27)， (28) , 式中的 是沿着边界反时针方向， (26) 的最后一项略去了， 因为它最后供给的磁矩只是和边界 长 成 正 比，而 (29) 是和面积 成正比。将 (29) 沿边界积分，得 是区域面积方向朝 。(31)的大小正好与在 区 内 完 整轨道的 总磁矩相同，不过方向相反。因此，整个区内的磁矩为零。 以 上 的分析足以证明轨道不能产生总磁矩， 这 是古典力学的 结果。其实，磁场只能改变粒子运动方向，不能改变其能 量 。热 位能只和能量有关，因此，不是磁场的函数。既非磁场的函数， 微分必为零，即总磁矩为零。 如果把量子力学考虑进去，则情形又稍有不同，量子力学计 算的结果是: 粒子位子的能量分布受到了磁场的影响，因此，热 位能也受影响，磁矩因而不是零。这个结果是非常的重要[兰道(Landau)反磁性理论，见任何固态物理教科书。]。我 们只略提一下重点。为求简明，只考虑 平面运动，磁场在 方向。 由量 子力学的波动方进程可解得单粒子的能量: 是磁场， ()， 是光速， 是粒子的转动频率。因此，本来 的能量，成了简谐振动的能量，粒子位子的能量 分布成了 是物体的面积， 是能量的统计份量，在没有磁场时和间的位子数是 是在无磁场时的能位密度。 从 算起。以上假设了在这段能量中大致不变，所以 本来在和之间的位子，全挤到同一能量了。 有了，热位能和其他平衡性质就可以计算了。自由电 子的热位能是 注意 ， 的积分和 的积分只差在: 一个是分立点的和，一个是连续积分，如果 很小，则所差有限。图 4指出积分与 和之不同。任一积分可写成  图 4 只要 相当平滑，且积分为有限。(38) 的和是图 4 中诸方 块的面积，方块的高是 ，读者可自导出 (38)。因此，只有在端点 的值和 有关。所以， (37) 是 注意 ， 是个常数。是 时的热位能。 如果气体密度很低，则 很小， (39) 约是 理想气体的密度是 由 (40)， (41) 得总磁矩 因此，粒子的轨道仍是有一点反磁性。但这纯是量子效应。这结 果也合用于三度空间，因为理想气体的 方向运动是独立的。 如果气体密度很高且 ， 则 (39) 成了 这结果只合用于二度空间， 因为在三 度空间，高密度的不合群气 体的各方向运动不是独立的。 在高密度时，如果很小，即 ， 显然 (39)， (43) 是一定不对的， 因为积分函数不能看成光滑曲录。在 附近， 在低温时总是有快速改变发生，例如图 5 的。方块的面 积，和曲线下的面积可以大不相同，当 增大时， 会向右移， 间 的方块面积减少。要待 间的方块移过来才增大，但再移又减少。因而成了一种周期性的改变。温度愈低，这种 改变越明显。注意，每当 经过，方块面积就大改 一次，即在 时。因此，变化是 的周期性函数，这是在固态物理中的一非
常重要的研究题目，在此不多谈。注意，的展开式，显然不成
立，无论 多小，这种周期性的变化都存在。 的级数是无法形
容这样的变化。因此，我们再囘头来检讨一下 (38) 。这是一个
数学问题。 一个函数 的积分和图 4 中方块面积到底差多少? (38) 是直接了当的对 展开， 但 以上 (44) 的结果稍令人不安。现在 把 (36) 写成 (46)是周期为 1 的-函数，我们只管 。因此，任一函 数之和可以写成 的积分即是，因此， 此所谓“卜阿松求和公式”之一例。如果这 级数收敛得快，则 非常有用。看两个例子: 【例】 ，则 无甚奇特之处，级数收敛。 【例】 ，则 这式子就很奇怪了，它不能用 的级数展开，在 时，每一 次微分都是零，如用 (38)，则得零。但(49) 的 级数却收敛 得很快。这例子给我们一个教训: 有些看来天衣无缝的展闭式，却是靠不住的。 注意 ， 如果在 有任何不连续性，或快速改变， (48) 立即会有 出现，即有 的周期函数出现。 (感谢 提供编辑支撑) |
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图 2
图 3
图 5
