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这两天比较忙，文章可能晚点发（虽然公众号只有60几号人，还是要尽力做到日更！） 设函数在区间上可微，当趋于无穷大，且存在常数使得。 证明： (1):瑕积分当时绝对收敛,当条件收敛,当时发散； (2):瑕积分当时绝对收敛,当条件收敛,当时发散； (3):瑕积分当时绝对收敛,当条件收敛,当时发散； 解答： 根据题目极限的说法，我们可以得到这样一个事实 即接下来只需将第一问证明，2，3问不证自明,右上边所述我们可以得到该积分的敛散性等价于 首先$0 注意到划线部分可以凑微分，所以他在区间上有界，时，单调递减趋于0，根据狄利克雷判别法可知收敛(当然可以换元法来说明，更可以说明他是条件收敛而非绝对收敛，这里从略)时，直接凑微分，是发散 再证除此之外是发散的，因为如果收敛，就有 这是收敛的，显然与我们之前判断违背，故发散 所以时绝对收敛,当条件收敛,当时发散； 至于2，3因为这是个瑕积分，所以只需讨论在0点处情况 对于(2),有，无影响 对于(3),有，相应阶数改变 设都是常数，是非零常数，证明广义积分 当 时收敛，当其他情况发散解答： 此题是上一道题目结论的应用 首先将区间分为，我们只对其中一个进行讨论 我们将其分部讨论，利用上一题结论可得 对于左边在收敛，对右边在 收敛,故在上, 收敛 对于右边 收敛 综上当 时收敛，当其他情况发散 表示有限或无限开区间 设在广义黎曼可积。令.证明： (1):在区间上连续 (2):如果对某点，连续，则在点可导且 解答： (1):利用连续的定义 如果在有界区间上显然极限为0，在瑕点处根据柯西收敛准则可知极限认为0，在仍然是极限为0，故得证 (2):与正常的没有不同(注意到连续) 表示有限或无限开区间 设是上的有界非负连续函数，又设在广义黎曼可积，且证明： 解答： 我们先证明他是正常定积分的情况，然后说明广义积分的不同点在哪里 设是上的有界非负连续函数，又设在黎曼可积，且证明： 记在区间上取得最大值，则有 所以 由夹逼准则可知 得证 再来看看它和广义积分的区别，只在看是不是有界量 如果是在区间上上有界量则无影响，如果是无界量则有柯西收敛准则可知，积分值仍然不会是无界量，故可由定积分推广到广义积分 高代习题册也开始整理了！（主要是课本上和课件上题及一些考研题） 别看就短短的一篇推文，其实已经有接近1000字了！ 体谅下小周，点个赞，在看，关注呗！ （终于该级数了！小周学的很差的一部分，尤其是函数项级数，和小周一起复习吧，可获得答案完整pdf（虽然没啥质量保证！）） |
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