【原】抽象代数-2.4：陪集

2.4:陪集

参考资料

1. 上课笔记
2. 抽象代数 樊恽等
3. 抽象代数 姚慕生（复旦）

本来想把生成的概念正式给出的，但是因为欠的推文实在太久了，所以就省掉了，把它放在循环群或者商集里介绍.

陪集的定义

再给出陪集的定义之前我们先给出一些记号(Notations):设是一个群，是上的一个二元运算，,定义：

1. ，称为中子集的积.请注意这里的称呼，我们以后还会学到群直积和群半直积的概念.
2. .

对于以上的记号，有如下性质：

1. ,这是由于中运算的结合律；
2. ,直接验证即可;
3. ;直接验证即可;
4. 如果单位元,那么：,显然略去不证;
5. 如果：(上一节没有给出的记号，如果是的子群，那么记为：,特别地，当时，记为：.),而,则：.提示一下：注意到这个事实：.

Proof: 因为,且,所以对任意,所以；另一方面，对任意的,所以任意的. 6. 对 .

Proof：一方面，再(5)中取得到：,另一方面，如果：,即对任意的：,所以.

7. 如果,则映射：，那么是个双射(bejection);且：.

下边正式给出陪集的定义：

定义1：[陪集(伴集，傍集)] 设是的子群，则称集合：是的一个左伴集，类似的我们可以定义右伴集.

一般来说，给出了一个新的事务，我们自然想到研究他有什么性质，下边我们从如何判断两个陪集是否相等开始探究陪集的性质：

定理1：[陪集相等的判定定理] 如果H是G的子群，那么.

Proof：一方面：如果,那么任意的,存在使：

另一方面：如果,说明：

反之对任意的,所以.

不仅如此两个陪集之间还可以建立一一对应的关系：设是的两个陪集，那么映射:

是双射，首先这是个满射，这由映射的定义可以直接看出，其次这还是一个单射：对任意的(两边取逆即得证.) 既然是个双射那么自然集合的基数相等，即：.

---

最后我们看一看两个不同的陪集之间的交集是什么？有如下断言：若：,那么：.

Proof: 如果：,那么存在,使：

这与陪集相等的判定定理矛盾，所以断言得证.

因此我们得到了如下命题：

命题1：

1. 的充要条件是：;
3. 若,那么.

由上述定义我们可以看到上的左陪集全体构成了的一个分划，且每个分划所含元素相等.因此我们可以在上定义等价关系：

这就是上述划分对应的等价类.

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拉格朗日定理及指数公式

在给出定理之前我们先给出一个完全代表系的定义，以便于我们如下的叙述：

定义2：[完全代表系] 设是的一个子群，给定一个集合：,如果它满足以下两点，则称它是G的一个完全代表系.

1. ;

由上述1.4.3给出的命题可知，每个陪集中的元素的基数是相同的，而,所以每个陪集中元素的基数都为：,所以

由此我们给出我们在抽代中遇到的第一个比较重要的定理-拉格朗日定理(我总不注意就说成了拉格朗日中值定理，haha!)

定理2：[拉格朗日定理]设 是有限群 的子群,则 是 的因子.的右傍定义了中的一个等价关系: 当且仅当 ，当且仅当 在这 个等价关系下的商集 为 的右傍集全体. 即右傍集的个数称为为子群 在中的指数，记为.也可以改写为下列这种形式：

下边给出拉格朗日定理的一个推论：指数公式：

定理3：[指数公式]设：,则有：

先给出证明的一个错误方法，即直接用拉格朗日公式：

,然后：

必须指出这样的证明方法是不正确的，因为当群的基数是无穷时，他们的除法是没有意义的，即使是两个群的基数都是相同(无穷情况下,读者请自行思考为什么？) 

证明：做陪集分解：

其中:是完全代表系，所以有：，现在我们证明：是关于的完全代表系，

即对任意的：.如果：,那么：由于,所以必有：因此可以消去，同理可得故上述命题得证.

例子：考虑关于关于的所有左陪集.

首先根据拉格朗日定理可知，有三个左陪集，然后拿的元素一个一个试就知道了，因此最终结果是：

---

最后我们要说明一般而言：,即对于同一个元素左乘陪集和右乘陪集所得到的结果一般是不同的，具体例子可以拿上边例题试一试.但是我们可以得到如下结果：

命题1：如果是左陪集的一个完全代表系，那么：是右陪集的一个完全代表系.

证明：证明两部分：

1. 对于任意的,,如果不成立，那么就有：

   推出矛盾；
2. ,对于任意的命题得证

莉莉安真的很治愈！

强烈安利lala的《言不由衷》！！！