【原】柯西 乘积（建议收藏整理）

数列极限与级数初步（五）：

级数乘积(柯西乘积)

为什么引入级数的乘积这一节？难道不就是按照乘法把他们乘起来吗？我们知道级数按照不同方法进行相加就会得到不同的结果，尤其是条件收敛的级数，所以级数乘完之后应该按照什么样的顺序进行加减呢？为此我们引入级数乘积这一节，首先我们介绍两种乘积，他们是对应乘完之后不同加减的方式：

每次都要煞费苦心的安排前后顺序，以及停电到11点让我如何安睡！

[对角线乘积与正方形乘积] 如图所示：

左边的这个我们称为对角线乘积右边的称为正方形乘积，他们对应的级数加法为：

在所有级数的乘法中最重要的是按照对角线相加的级数乘积我们称之为柯西乘积，并且记它的通项为：

我们自然是要研究按照不同方式加起来的级数的敛散性的，首先我们引入极限的一般理论，然后给出关于级数乘积的几个著名结果：

[Toplitz定理]设无穷三角形矩阵满足以下的性质：

1.对于每一个固定的都有：

2. 
   

K是固定的常数与无关.

那么如果有如下结果：

如果,则有：

下边我们来证明这个定理并且对该定理做一些适当的推广！

证明：因为所以存在使得当后因此我们有：

又因为 , 因此存在(对每个),

使得当时有，简单叙述以下上述话语即得所证！

下边我们做一些适当的推广：

1.若系数还满足：

且,那么就有：

做变换： 带入再利用定理即可.

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2.令,即得柯西命题.

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3.证明的Stolz定理：

设有两个序列 与 , 其中第二 个序列单调地趋于 . 设序列

设 . 容易验证条件都成立. 于是得到

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4.设有两个序列 与 , 同时后者符合如下条件:

那么便有序列

令.

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5.若序列 , 而序列 , 则序列

考虑,否则做变换,取即得所证.

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6. 
   

若 ,  则

取验证其满足3条性质.

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7.若 与 为常数 , 则

这是上一论断的简单推广, 其证明也是类似的, 系数的排列次序也可以反过来, 即

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现在我们有了该定理便可以很快的证明有关柯西乘积的几个定理：

[Cauchy]设级数绝对收敛，绝对收敛且他们分别正常收敛到,那么我们有他们的乘积按照任何顺序相加也收敛

证明：设他们乘积之后相加为：

那么这个级数也是绝对收敛的，我们考虑其绝对值的部分和：

为绝对收敛的值.

其次收敛到,我们证明了任何方式都收敛，现在考虑正方形求和：

按照加括号的方式求它的部分和为：,所以即得所证.

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下边我们对他进行推广：

[Mertens]如果级数绝对收敛，条件收敛，那么他们的柯西乘积也是收敛的，且收敛到,其中分别为两个级数正常收敛的值.

记柯西乘积为,注意到的通项是

我们证明：从而证明结论；注意到如下事实：

注意到满足Toplitz中的条件，而趋于0，因此根据Toplitz定理即得所证.

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继续推广：

[Abel]设级数收敛到,级数收敛到,如果他们的柯西乘积收敛，则收敛到.

该证明需要很需要技巧，我们老师提供的是Abel引理及一个幂级数中的定理，我们在此利用数列极限的知识：同样为柯西乘积部分和注意到：(动手写写看是否如此.).如果收敛到,那么由柯西命题可得：

而对于

根据Toplitz的推广5可得取,即得所证！

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对于交错级数我们总是还有研究的余地：

[Pringsheim1]设 , 则级数 与 的 Cauchy 乘积级数 收敛的充要条件是

证明：必要性显然

充分性：我们证明方法同理，仍是证明：,为此我们还是写出,大家自己在草稿纸上写：

注意到 , 得到当 时，有

故

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[Pringsheim2]设 , 则级数 与 的 Cauchy 乘积级数 收敛的充要条件是当 时 且 , 其中 ,

证明：必要性：根据上一个定理证明：设当 时, , 则由

知 . 类似得到 . 证毕.

充分性：设当 时 且 , 则由 的单调性, 有

因此当 时, ,根据上一个定理 收敛.

至此关于柯西乘积的定理全部罗列完毕！

还是lala,haha!

改天做一期暑期学校生活的水文！

关于数分我们先小告一段落，俺去瞅瞅谢惠民和裴礼文了，

预告：抽代：模论

高代：行列式（无聊ing)，不想写这个