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今天我们来学习一种重要的模型：角含半角模型。从下面的题目我们可以清晰地看到什么是“角含半角”： 大家看，图中∠DAB和∠EAF拥有共同的顶点A，而且∠DAB=90°,∠EAF=45°,∠DAB是∠EAF的2倍，我们把这种共顶点且具有2倍角关系的模型称之为“含半角模型”。 今天的标题叫“角含半角必旋转”，这是解决此类问题的通法，那为什么“角含半角必旋转”呢？我们稍作分析，大家就一目了然了。为了表达的方便，我们在图中再作一些标注： 由于2倍角的关系，我们不难看出∠1+∠2的度数恰好等于45°，可是∠1和∠2被45°角隔开了，这种分散的状况对于我们进一步解题没有太多的力量，怎么办？想办法集中起来，把∠1和∠2集中起来！ 如何集中呢？方法就是“旋转”，我们看下面的图形： 把三角形ADF绕着点A顺时针旋转90°，到达三角形ABF'的位置，∠1转到了∠3的位置，所以∠2+∠3=45°，此时∠EAF=∠EAF'，再结合旋转的性质，AF'=AF，以及AE是公共边,我们可以得到三角形AEF全等于三角形AEF'（当然我们还要提前说明F'、B、E共线）。这样，我们就得出EF'=EF，即EB+BF'=EF，进一步得出最有价值的结论：EB+DF=EF。 题目让我们求BE，我们设BE=x，则可以从图中标注出其它线段的长，关注直角三角形CEF，根据勾股定理，可列方程，求出x，具体如下： 到这里，题目的解答就说清楚了，我们可以感受到整个过程中，旋转所发挥的关键作用，它把两个分散的∠1和∠2有效的集中起来了，为证明全等铺平了道路，进而找到隐藏在其中的线段之间的关系，再运用勾股定理解答了此题。 好啦！今天的分享就到这里，我们明天继续！ |
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