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【模型导学】细解倍角含半角模型，举例说明其应用 把对角互补的两种基本模型个搞定了——“等腰三角形顶角之半角模型”和“对角互补半角模型”，并体会了“从特殊到一般”和“从一般到特殊”的数学思想。本篇咱们揭秘下“倍角含半角模型”和“对角互补模型”之间的神秘联系。 其实，很久以前就在冥冥之中感觉到，他们之间应该会有某种联系，只不过没有真正的弄明白罢了，现在也仅仅是一知半解而已。 先简单补习下中考中两个最常见的模型：“对角互补模型”和“倍半角模型” 一、对角互补模型 1、90°——90°模型：如图1，∠AOB=90°，∠DCE=90°。若OC平分∠AOB，则CD=CE；若CD=CE，则OC平分∠AOB；且（1）OD+OE=√2OC；（2）四边形DOEC的面积=1/2OC2 2、120°——60°模型：如图2，∠AOB=120°，∠DCE=60°。若OC平分∠AOB，则CD=CE；若CD=CE，则OC平分∠AOB；且（1）OD+OE=OC；（2）四边形DOEC的面积=√3/4OC2 3、α——180°—α模型：如图3，∠DOE=α，∠AOB=180°-α，若OC平分∠AOB，则CD=CE；若CD=CE，则OC平分∠AOB；且（1）OD+OE=2OC˙sinα/2；（2）四边形DOEC的面积=1/2OC2sinα 关于“对角互补”模型的两大策略：1、旋转；2、做双垂...... 这些都不是咱们今天讨论的重点...... 二、倍半角模型 1、90°——45°模型：如图4，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=45°，则：（1）BE+DF=EF；（2）BM2+DN2=MN2； 2、120°——60°模型：如图5，在四边形ABCD中，AB=AD，CD=CB，点E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=1/2∠BAD=60°，则：（1）BE+DF=EF；（2）MN2=BM2+DN2-BM˙DN 3、α——α/2模型：如图6，在四边形ABCD中，AB=AD，CD=CB，∠BAD+∠C=180°，∠EAF=1/2∠BAD，则（1）BE+DF=EF；（2）MN2=BM2+DN2+2BM˙DNcos2∠EAF； 关于“倍角含半角模型”的两大策略：（1）旋转；（2）折叠......以及这些结论的证明咱在上一篇都已经讲过；关于“90°含45°半角模型”的那么多精彩的结论，也不是咱们今天要讲的内容，重点是—— 三、“对角互补模型”中隐含的“半角模型” 还记得这图7张图吗？对，这不是咱10月份在郑州“中考数学模型教学研讨会”分享给大家的“对角互补模型”吗？ 这个图形中有多少个“对角互补模型”呢？ 这个图形中有多少个“三垂直模型”呢？ 这个图形中有多少个“一线三等角模型”呢？ 这个图形中有多少个“手拉手模型”呢？ 这个图形中有多少个“四点共圆”呢？ 这个图形中有多少个“共角共边的相似模型”呢？ 你看到“弦图”了吗？ ....... 这个图形中有没“倍角含半角模型”呢？ 你能看出来“180°——含90°倍角含半角模型”我服你——我就服郑州朗悦慧的王琳琳老师，研讨会中她“慧眼独具”，看出来了！！！ 你能看出来“90°——45°倍角含半角模型”我更服你—— 其实我也没看出来...... 不过，某一天，老王突发奇想，心血来潮，就像图8中那样添了这么一条线...... 然后，再在合适的地方标上字母，再连接某些交点，如图9...... 这下，看到这个大名鼎鼎的“90°——45°倍角含半角模型”了吧！——居然隐藏的这么深！！！ 四、“半角模型”中的“对角互补模型” 其实，硬生生的从“对角互补模型”中挖出这个“半角模型”还不好玩，总感觉有点牵强附会的意思，他们之间的关系真的就那么“”晦”莫如深”吗？别急！！！ 上一篇模型一的例4和模型二的例3，还记得吗？咱把他们合并一下： 如图10，已知四边形ABCD中，且AB=AD，CB=CD，∠EAF=1/2∠BAD=α，∠BCD=180°-2α，则有：（1）BE+DF=EF；（2）MN2=BM2+DN2+2BM˙DNcos2∠EAF。 等等，怎么看着这么眼熟呢？ 连接AC试下，如图11...... 还是动用“高科技”——几何画板吧！虽然几何画板老王还是幼儿班的水平，不过用几何画板画起来，还是很直观的。 不说了，反正图形是会说话的，咱就不啰嗦了，直接上图： 先来张最常见的，如图12,熟悉吧！ 把图变一下，变成一般情况的“倍角含半角模型”，如图13 把这两个三角形涂上颜色，如图14 把这些线段标出特殊颜色，如图15 把△ADN旋转到△ABN'处，并把这两个三角形涂上相同的颜色，如图16
换个位置试一试，如图17
哈哈，就是这么神奇！！！ 你看出“倍角含半角模型”和“对角互补模型”之间相伴相生的关系了吗？——这可是老王的一项重大“发现”。反正以前老王是没有见过有谁谁论述过他们之间如此紧密的关系的文章，咱今天也小嘚瑟一下子。 不说了，码了这么多字，画了这么多图，休息！！！ 正所谓： 横看成岭侧成峰，对角半角各不同； 不识对半真面目，只缘身在模型中！ 好 书 推 荐 点击 抢购
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