【原】初中几何基本模型：半角模型

模型回顾

1.对角互补的四边形共圆：链接⇨对角互补的四边形共圆

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2.对角互补、邻边相等、角平分线（链接⇨知二求一）

(1)对角互补（共圆）+邻边相等的四边形⇒角平分线

(2)对角互补（共圆）+角平分线的四边形⇒邻边相等

(3)角平分线+邻边相等的四边形⇒对角互补（共圆）

证明过程利用旋转全等变换实现线段的和差关系.

半角模型介绍：(两角共顶点且成2倍关系)

过某个角的顶点引两条射线，使这两条射线的夹角为该顶角的一半（半角在大角的内部称为内部半角，随着动态几何的变化，也自然有外部半角）.

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思想方法：

通过先旋转变换构造全等，再利用对称全等，实现线段的和差转化.（简记：旋转+对称两次全等）

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条件：OA=OB,∠AOB=2∠COD.

结论：

△ODB≅△OD'A（旋转全等）；

△OCD≅△OCD'（对称全等）.

四边形半角模型

模型引入：四边形半角模型主要研究在特殊四边形（对角互补+邻边相等）的基础之上延申出的特殊结构的图形.

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思想方法：邻边相等+对角互补（共顶点，等线段），遇半角作旋转.

需注意：虽然是旋转得到全等，旋转仅仅是直观演示过程.推理过程辅助线应写延长CB到G,使得BG=BF并连接AG（或延长CD到H,使得DH=BE并连接AH）.这个在对角互补的四边形共圆已有提示.

条件：∠B+∠D=180°,AB=AD,∠BAD=2∠EAF.

结论：

如图①△ADF≅△ABG；

如图②△ABE≅△ADH（旋转全等）；

 △AEF≅△AEG≅△AHF（对称全等）.

正方形中的半角模型

条件：在正方形ABCD中，∠EAF=45°.

结论：

（1）EF=BE+DF；（旋转全等、对称全等）

（2）Rt△ECF的周长=2AB；

（3）△ABE的面积+△ADF的面积=△AEF的面积；

（4）AQ=AB；

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条件：在正方形ABCD中，∠EAF=45°.

结论：

（5）△AOM∼△ADF,△AON∼△ABE；（相似比1:根号2）

（6）△AMN的面积+四边形MNFE的面积=△AEF面积的一半；

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条件：在正方形ABCD中，∠EAF=45°.

结论：（7）△ANE,△AMF为等腰直角三角形.

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条件：在正方形ABCD中，∠EAF=45°.

结论：（8）A、D、F、E四点共圆，A、B、E、N四点共圆，M、N、F、C、E五点共圆.

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条件：在正方形ABCD中，∠EAF=45°.

结论：（9）△ANM∼△DNF∼△BEM∼△AEF∼△DAM∼△BNA.

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等腰直角三角形中的半角模型（链接：⇨等腰直角三角形半角模型）

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条件：在等腰直角△ABC中，∠DCE=45°.

结论：△DCE∼△CAE∼△DBC.

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      在初中几何学习中，要注意概念关、语言关、画图关、推理证明关四大关。善于静中找动，实现从特殊到一般的转化。动中找静，找到运动过程中不变的数学模型或规律，再从一般到特殊，利用临界情况解决问题。动静结合，其乐无穷！解决几何问题不顺手的原因是由于对基本的模型图及结论掌握不牢固，还有常见的几何解题方法不够熟练。本公众号作者潜心研究整理初中几何学习过程中常见的几何基本模型图及结论，如有错误或更好的思路，请大家不吝赐教。

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编辑 | 张旭