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超全几何模型:中点、角平分线、手拉手、半角、弦图、最短路径等

 sfq1 2019-07-06

中点模型

【模型1】倍长

1、倍长中线;2、倍长类中线;3、中点遇平行线延长相交

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【模型2】遇多个中点,构造中位线

1、直接连接中点;2、连对角线取中点再相连

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【例1】在菱形ABCD和正三角形BEF中,∠ABC=60°,GDF的中点,连接GCGE

(1)如图1,当点EBC边上时,若AB=10,BF=4,求GE的长;

(2)如图2,当点FAB的延长线上时,线段GEGC有怎样的数量和位置关系,写出你的猜想,并给予证明;

(3)如图3,当点FCB的延长线上时,(2)问中的关系还成立吗?写出你的猜想,并给予证明.

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【解答】

(1)延长EGCD于点H

易证明△CHG≌△CEG,则GE=3√3

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(2)延长CGAB于点I

易证明△BCE≌△FIE,则△CEI是等边三角形,GE=√3GC,GEGC

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(3)

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【例2】如图,在菱形ABCD中,点EF分别是BCCD上一点,连接DEEF,且AEAF,∠DAE=∠BAF.

(1)求证:CECF

(2)若∠ABC=120°,点G是线段AF的中点,连接DGEG,求证:DGEG.

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【解答】

(1)证明△ABE≌△ADF即可;

(2)延长DGAB相交于点H,连接HE,证明△HBE≌△EFD即可

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【例3】如图,在凹四边形ABCD中,ABCDEF分别为BCAD的中点,BAEF延长线于G点,CDEFH点,求证:∠BGE=∠CHE.

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【解答】

BD中点可证,如图所示:

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角平分线模型

【模型1】构造轴对称

【模型2】角平分线遇平行构等腰三角形

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【例4】如图,平行四边形ABCD中,AE平分∠BADBC边于EEFAE交边CDF点,交AD边于H,延长BAG点,使AGCF,连接GF.若BC=7,DF=3,EH=3AE,则GF的长为_______.

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【解答】

延长FEAB交于点I,易得CECFBABE,设CEx,则BACD=3+xBE=7-x

3+x=7-xx=2,ABBE=5,AE=,作AJBC,连接AC,求得GFAC=3

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手拉手模型

【条件】OAOBOCOD,∠AOB=∠COD

【结论】OAC≌△OBD,∠AEB=∠AOB=∠COD(即都是旋转角);OE平分∠AED

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【例5】(2014重庆市A卷)如图,正方形ABCD的边长为6,点O是对角线ACBD的交点,点ECD上,且,连接BE.过点CCFBE,垂足是F,连接OF,则OF的长为________.

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【答案】6√5/5

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【例6】如图,△ABC中,∠BAC=90°,ABACADBC于点D,点EAC边上,连接BEAGBEF,交BC于点G,求∠DFG

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【答案】45°

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【例7】(2014重庆B卷)如图,在边长为6√2的正方形ABCD中,EAB边上一点,GAD延长线一点,BEDG,连接EGCFEGEG于点H,交AD于点F,连接CEBH.若BH=8,则FG=_____________.

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【答案】5√2

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邻边相等对角互补模型

【模型1】

【条件】如图,四边形ABCD中,ABAD,∠BAD+∠BCD=∠ABC+∠ADC=180°

【结论】AC平分∠BCD

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【模型2】

【条件】如图,四边形ABCD中,ABAD,∠BAD=∠BCD=90°

【结论】① ∠ACB=∠ACD=45°; ② BCCD√2AC

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【例8】如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=5,GCD中点,DEDGFGBEF,则DF为_____.

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【答案】9√5/5

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【例9】如图,正方形ABCD的边长为3,延长CB至点M,使BM=1,连接AM,过点BBNAM,垂足为NO是对角线ACBD的交点,连结ON,则ON的长为__________.

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【答案】6√5/5

【例10】如图,正方形ABCD的面积为64,△BCE是等边三角形,FCE的中点,AEBF交于点G,则DG的长为___________.

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【答案】4√3 4

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半角模型

【模型1】

【条件】如图,四边形ABCD中,ABAD,∠BAD+∠BCD=∠ABC+∠ADC=180°,∠EAF

1/2∠BAD, 点E在直线BC上,点F在直线CD【结论】BEDFEF满足截长补短关系

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【模型2】

【条件】如图,在正方形ABCD中,已知EF分别是边BCCD上的点,且满足∠EAF=45°,AEAF分别与对角线BD交于点MN

【结论】BEDFEF

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;③AHAB

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;⑤BM2+DN2=MN2;

⑥△ANM∽△DNF∽△BEM∽△AEF∽△BNA∽△DAM(由AOAHAOAB=1: √2可得到△ANM和△AEF相似比为1: √2

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⑧△AOM∽△ADF;△AON∽△ABE

⑨△AEN为等腰直角三角形,∠AEN=45°,△AFM为等腰直角三角形,∠AFM=45°;⑩AMFD四点共圆,ABEN四点共圆,MNFCE五点共圆.

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【模型2变形】

【条件】在正方形ABCD中,已知EF分别是CBDC延长线上的点,且满足∠EAF=45°

【结论】BEEFDF

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【模型2变形】

【条件】在正方形ABCD中,已知EF分别是BCCD延长线上的点,且满足∠EAF=45°

【结论】DFEFBE

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【例11】如图,△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合,将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,射线EF与线段AB相交于点G,与射线CA相交于点Q.若AQ=12,BP=3,则PG=__________.

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【解答】连接AE,题目中有一线三等角模型和半角模型

ACx,由△BPC∽△CEQ

BP/CE=BE/CQ, 3/((√2/2)x)=(√2/2)x/(x+12),解得x=12

PGy,由AG2+BP2=PG2得32+(12-3-x)2=x2,解得x=5

【例12】如图,在菱形ABCD中,ABBD,点EFABAD上,且AEDF.连接BFDE交于点G,连接CGBD交于点H,若CG=1,则S四边形BCDQ=__________.

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【解答】√3/4

一线三等角模型

【条件】∠EDF=∠B=∠C,且DEDF

【结论】△BDE≌△CFD

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【例13】如图,正方形ABCD中,点EFG分别为ABBCCD边上的点,EB=3,GC=4,连接EFFGGE恰好构成一个等边三角形,则正方形的边为__________.

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【解答】如图,构造一线三等角模型,△EFH≌△FGI

BCBFCFHFBHFICIGIBHHECI=7√3/3

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弦图模型

【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段

【结论】新构成了同心的正方形

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【例14】如图,点E为正方形ABCDAB上一点,点FDE的延长线上,AFABACFD交于点G,∠FAB的平分线交FG于点H,过点DHA的垂线交HA的延长线于点I.若AH=3AIFH=2√2,则DG=__________.

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【解答】17√2/4

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【例15】如图,△ABC中,∠BAC=90°,ABACADBC于点D,点EAC中点,连接BE,作AGBEF,交BC于点G,连接EG,求证:AGEGBE

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【解答】过点CCHACAG的延长线于点H,易证

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最短路径模型

【两点之间线段最短】

1、将军饮马

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2、费马点

【垂线段最短】

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【两边之差小于第三边】

【例16】如图,矩形ABCD是一个长为1000米,宽为600米的货场,AD是入口,现拟在货场内建一个收费站P,在铁路线BC段上建一个发货站台H,设铺设公路APDP以及PH之长度和为l,求l的最小值.

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【解答】600 500√3,点线为最短.

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【例17】如图,EF是正方形ABCD的边AD上的两个动点,满足AEDF,连接CFBDG,连接BEAGH,若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值为______________________.

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【解答】如图,取AB中点P,连接PHPD,易证PHPD-PHDH≥√5-1.

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课后练习题

【练习1】如图,以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE,∠AEB=90°,ACBD交于O.已知AEBE的长分别为3、5,求三角形OBE的面积.

【解答】5/2

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【练习2】已知:如图1,正方形ABCD中,为对角线BD上一点,过E点作EFBDBCF,连接DFGDF中点,连接EGCG

求证:EGCGEGCG

将图1中△BEFB逆时针旋转45°,如图2所示,取DF中点G,连接EGCG,问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.

将图1中△BEFB点旋转任意角度,如图3所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?

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【解答】

方法一:如图所示

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方法二:如图所示

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(3)

方法一:

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方法二:

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