【原】初中中考几何常见模型图及结论

初中几何的学习离不开图形的绘制，作图本身就是就是一个分析思考的过程.在学习几何的过程中，还应把常见、常用到的基本图模型化，通过不断的作图练习、结论证明，才能见一想多，最终利用“顺其自然法”由条件到结论.

以下是最近整理的初中几何学习中常见到的基本图形及结论，大多数知识点也通过动态图形加以展示，强化运动规律.借此机会，感谢大家的关注与分享，如有不对地方，也请加以指正.

8字模型与飞镖模型

模型1 角的8字模型

条件：AC、BD相交于点O,连接AD、BC.

结论：∠A+∠D=∠B+∠C.

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小结：(1)因为这个图形像数字8，所以我们把这个模型称之为8字模型.

(2)8字模型往往在几何综合题中推导角度时用到.

模型2 角的飞镖模型

如图所示

结论：∠D=∠A+∠B+∠C.

小结：(1)因为这个图形像飞镖，所以我们把这个模型称之为飞镖模型.

(2)飞镖模型往往在几何综合题中推导角度时用到.

模型3 边的8字模型

条件：如图所示，AC, BD相交于点O,连接AD、BC.

结论：AC+BD>AD+BC.

模型4 边的飞镖模型

如图所示

结论：AB+AC=BD+CD.

角平分线模型

模型1 角平分线上的点向两边作垂线

条件：如图，P是∠MON的平分线上一点，过点F作PA⊥OM于点A, PB⊥ON于点B.

结论：PB=PA.

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小结：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口.

模型2 截取构造对称全等

条件：如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB.

结论：△OPB≅△OPA.

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小结：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角，可以得到对应边、对应角相等.利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧.

模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形

条件：如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于P点,延长AP交ON于点B.

结论：△AOB是等腰三角形.

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小结：构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进

而得到对应边、对应角相等.这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系在一起.

模型4 角平分线+平行线=等腰三角形

条件：如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作

PQ//ON,交OM于点Q,

总结：△POQ是等腰三角形.

小结：有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结

论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系.

双角平分线模型

模型1  “内内”双角平分线模型

条件：BP、CP为角平分线.

结论：∠BPC=90°+  ∠A.

模型2  “外外”双角平分线模型

条件：BP、CP为角平分线.

结论：∠BPC=90°-  ∠A.

模型3  “内外”双角平分线模型

条件：BP、CP为角平分线.

结论：∠BPC=  ∠A.

模型4  “8字型”下的双角平分线模型

条件：BP、CP为角平分线.

结论：∠P=  (∠A+∠D).

模型5  同旁内角的双角平分线模型

条件：BO、AO为角平分线，CD⊥AB，AD∥BC.

结论：∠AOB=90°,OD=OC,AB=AD+BC.

模型6  凹四边形的双角平分线模型

条件：BE、DE为角平分线，BE交AD于点G.

结论：∠E=  (∠A-∠C).

截长补短模型

模型：截长补短

如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在

EF=AB+CD,可以考虑截长补短法.

截长法：如图②，在EF上截取EG=AB,再证明

GF=CD即可.

补短法：如图③，延长至H点，使BH=CD,

再证明AH=EF即可.

手拉手全等模型

模型1 一般等腰三角形

条件：AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.

结论1：△ABD≅△ACE.

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条件：等腰△ABC和等腰△ADE,∠BAC=∠DAE（顶角相等）.

结论2：第三边所成的夹角∠BFC=∠BAC（8字型模型可推出）且四点共圆.

条件：等腰△ABC和等腰△ADE,∠BAC=∠DAE（顶角相等）.

结论3：FA平分∠BFE.（利用面积法以及角的平分线的判定定理）.

条件：等腰△ABC和等腰△ADE,∠BAC=∠DAE（顶角相等），P、Q分别为BD、CE的中点.

结论4：△APQ是等腰三角形.

条件：等腰△ABC和等腰△ADE,∠BAC=∠DAE（顶角相等），点B、D、E三点共线时

结论5：A、B、C、E四点共线.

条件：等腰△ABC和等腰△ADE,∠BAC=∠DAE（顶角相等），点D在BC上运动.

结论6：四边形ADCE是对角互补且邻边相等的共圆四边形，CA平分∠DCE.

模型2 等边三角形手拉手旋转

条件：△OAB，△OCD为等边三角形

结论：△OAC≅△OBD,

第三边的夹角∠AEB=60°,EO平分∠AED

四边形OABE对角互补,

四边形OCED对角互补、邻边相等、角平分线、60°的结论.

模型3 等腰直角三角形手拉手旋转

条件：△OAB，△OCD为等 腰直角三角形

结论：△OAC≅△OBD,

第三边的夹角∠AEB=90°,EO平分∠AED.

正多边形中的全等模型

模型1 等边三角形中的全等

条件：等边△ABC，BD=CE.

结论：△ABD≅△BCE;∠AFE=60°.

总结：等边三角形中的全等，第三边所成的夹角等于60°.

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模型2 正方形中的全等

条件：正方形ABCD，BE=CF.

结论：△ABE≅△BCF;∠AGF=90°.

总结：正方形中的全等，第三边所成的夹角等于90°.

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模型3 正五边形中的全等

条件：正五形ABCDE，BF=CG.

结论：△ABF≅△BCG;∠AHG=108°.

总结：正五边形中的全等，第三边所成的夹角等于108°.

一线三等角全等模型

模型1 同侧一线三等角

已知：∠B=∠C=∠AED,AE=DE.

结论：△ABE≅△ECD.

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模型1 同侧一线三等角

已知：∠AED=∠ABC=∠DCF,AE=DE.

结论：ΔABE≅ΔECD.

平行+中点全等模型

条件:AB∥CD,O为BC的中点.

结论：△AOB≅△DOC.

将军饮马

链接：初中几何最值问题基本模型：将军饮马

模型1：定直线与两定点（一动两定型）

（一）距离之和最短（化折为直）

1.两侧型：两点分别在直线两侧（基础本质型）

已知：如图①，定点A、B分别位于直线L的两侧.

要求：在直线L上找一点P,使得PA+PB的值最小.

作图：连接AB与直线L交于点P,点P即为所求作的点，PA+PB的最小值即为线段AB的长度.

证明：在直线L上任取一点动点P'，连接AP'，BP'.

在△ABP'中，

∵AP'+BP'≥AB,即AP'+BP'≥PA+PB，

∴当线段AB与直线L相交于点P时，PA+PB最小.

结论：PA+PB最小(AB)

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2.同侧型：两点在直线同侧（将军饮马）

已知：如图①，定点A、B位于直线L的同一侧.

要求：在直线L上找一点P,使得PA+PB的值最小.

作图：作点A、B任意一点关于直线L的对称点,

连接AB'交直线L于点P，则点P即为所求.

证明：根据轴对称的性质知直线L为线段BB'的中垂线，

由中垂线的性质得PB=PB',要使PA+PB最小，则需PA+PB'最小，从而转化为两侧型.

结论：PA+PB最小(AB').

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（二）距离之差的绝对值最大

1.同侧型：

已知：如图①，定点A、B位于直线L的同一侧（A、B两点到L的距离不等）.

要求：在直线L上找一点P,使得|PA-PB|的值最大.

作图：连接AB并延长，与直线L交于点P,点P即为所求.

证明：在L上任取一点P'(异于点P),连接P'A，P'B.由三角形三边关系知|P'A-P'B|<AB，即|P'A-P'B|≤|PA-PB|.

结论：|PA-PB|最大(AB).

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2.同侧型：

已知：如图①，定点A、B位于直线L的两侧（A、B两点到l的距离不等）.

要求：在直线L上找一点P,使得|PA-PB|的值最大.

作图：作点A、B任意一点关于直线L的对称点,

连接AB'并延长，与直线L交于点P,点P即为所求.

证明：根据轴对称的性质知直线L为线段BB'的中垂线，

由中垂线的性质得PB=PB',要使|PA-PB|最大，则需|PA-PB'|最大，从而转化为同侧型.

结论：|PA-PB|最大为AB'.

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（三）距离之差的绝对值最小（垂直平分线性质定理应用）

要求：如图①、②，在直线L上找一点P,使得|PA-PB|有最小值.

作图：连接AB,作线段AB的垂直平分线与直线L交于点P，

点P即为所求作的点.

证明：由中垂线的性质得PB=PB,要使|PA-PB|最小为0.

结论：|PA-PB|的最小值为0.

模型2：角与定点（两动一定型）

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（一）距离之和最短

1.定点在角的外部

已知：如图①，P点为锐角∠MON外一定点.

要求：在射线OM上找一点A，在射线ON上找一点B，使得PA+AB的值最小.

作图：如图②，过点P作PB⊥ON于点B,PB与OM相交于点A.此时，AP+AB最小.

证明：AP+AB≥PB,当且仅当A，P，B三点共线时，AP+PQ取得最小值PB,根据点到直线的距离，垂线段最短，当PB⊥ON时，PB最短.

结论：PA+AB的最小值为PB.

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2.定点在角的内部

已知：如图①，P点为锐角∠MON内一定点.

要求：在射线OM上找一点A，在射线ON上找一点B，使得PA+AB的值最小.

作图：如图②，作点P关于OM的对称点P'，过点P'作ON的垂线分别交OM、ON于A、B.点A、B即为所求作的点.

证明：由轴对称的性质得PA=P'A,要使PA+AB最小，只需P'A+AB最小，从而转化为定点在角外部模型.

结论：PA+AB的最小值为P'B.

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3.三角形周长最小

已知：如图①，P点为锐角∠MON内一定点.

要求：在射线OM上找一点A，在射线ON上找一点B，使得△PAB的周长最小.

作图：如图②，分别作P点关于直线OM的对称点P'，关于ON的对称点P''，连接P'P''交OM于点A,交ON于点B,点A、点B即为所求，此时△PAB的周长最小，最小值为线段P'P''的长度.

证明：由轴对称的性质可知AP=AP',BP=BP'',△APB的周长AP+AB+BP=AP'+AB+BP'',当P'、A、B、P''四点共线时，其值最小.

结论：△PAB的周长最小为P'P''.

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4.四边形周长最小

已知：如图①，P、Q为锐角∠MON内的两个定点.

要求：在射线OM上找一点A，在射线ON上找一点B，使得四边形ABPQ的周长最小.

作图：如图②，分别作Q点关于直线OM的对称点Q'，P点关于ON的对称点P''，连接P'Q'交OM于点A,交ON于点B,

点A、点B即为所求，此时四边形ABPQ的周长最小，最小值为线段P'Q'+PQ.

结论：四边形ABPQ的周长最小为P'Q'+PQ.

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5.两动两定变式模型

已知：如图①，A、B为两个定点,P、Q为动点.

要求：在射线OM上找一点Q，在射线ON上找一点P，使得AP+PQ+QB最短最小.

作图：如图②，分别作A点关于直线ON的对称点A'，B点关于OM的对称点B'，连接A'B'交OM于点Q,交ON于点P,点P、点Q即为所求，此时AP+PQ+QB最小，最小值为线段A'B'.

结论：AP+PQ+QB最小为线段A'B'的长.

搭桥模型

模型1

已知：如图①，直线m∥n,A,B分别为m上方和n下方的定点（直线AB不与m垂直）.

要求：在m,n之间求作垂线段PQ,使得AP+PQ+QB的值最小.

解析：PQ为定值，只需要AP+QB最小，可通过平移，使P,Q“接头”，转化为基本模型（将军饮马）.

作图：如图②，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至点A'，使得AA'=PQ,连接A'B交直线n于点Q,过点Q作PQ⊥n于点Q,交直线m于点P,线段PQ即为所求，此时AP+PQ+QB最小.

证明：由作图过程可知四边形QPAA'为平行四边形，则QA'=PA,当B,Q,A'三点共线时，QA'+QB最小，即PA+QB最小，又PQ长为定值，所以此时AP+PQ+QB的值最小.

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模型2

已知：如图①，定点A,B分布于直线m两侧，长度为a（定值）的线段PQ在m上移动（P在Q左边）.

要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB的值最小.

解析：PQ为定值，只需要AP+QB最小，可通过平移，使P,Q“接头”，转化为基本模型（将军饮马）.

作图：如图②，将点A沿着平行于m的方向，向右移至点A'，使AA'=PQ=a,连接A'B交直线m于点Q,在m上截取PQ=a(P在Q左边)，则线段PQ即为所求，此时AP+PQ+QB的最小值为A'B+PQ，即A'B+a.

证明：由作图过程可知四边形APQA'为平行四边形，则QA'=PA,当B,Q,A'三点共线时，QA'+QB最小，即PA+QB最小，又PQ长为定值，所以此时AP+PQ+QB的值最小.

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模型3

已知：如图①，定点A,B分布于直线m的同侧，长度为a（定值）的线段PQ在m上移动（P在Q左边）.

要求：确定PQ的位置，使得四边形APQB的周长最小.

解析：AB长度已经确定为定值，只需要AP+PQ+QB最小，可通过作A点关于m的对称点，转化为基本模型（将军饮马）.

作图：如图②，作A点关于m的对称点A'，将点A'沿着平行于m的方向，向右移至点A''，使A'A''=PQ=a,连接A''B交直线m于点Q,在m上截取PQ=a(P在Q左边)，则线段PQ即为所求，此时四边形APQB的周长最小为A''B+AB+PQ，即A''B+AB+a.

中点模型

模型1 倍长中线或类中线构造全等三角形

条件：AD是中线，延长AD至点E使DE=AD.

结论：△ADC≅△EDB(SAS)

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条件：D是BC的中点，延长FD至点E使DE=AD.

结论：△FDB≅△EDC(SAS)

模型2 三线合一模型

等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形，，三线合一”的性质得到角相等或边相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到.“边等、角等、三线合一”.

模型3 中位线模型

在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，

利用三角形中位线的性质定理：DE//BC,且DE=  BC来解题.中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系,该模型可以解决角相等，线段之间的倍半、相等及平行问题.

模型4 斜边中线模型

在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上中线等于斜边的-半，即CD=  AB，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形:△ACD和△BCD,该模型经常会与中位线定理一起综合应用.

半角模型

模型1 基本模型

条件：OA=OB,∠AOB=2∠COD.

结论：△ODB≅△OD'A（旋转全等）；△OCD≅△OCD'（对称全等）.

模型2 四边形半角模型

条件：∠B+∠D=180°,AB=AD,∠BAD=2∠EAF.

结论：如图①△ADF≅△ABG；如图②△ABE≅△ADH（旋转全等）；

 △AEF≅△AEG≅△AHF（对称全等）.

模型3 正方形半角模型

条件：在正方形ABCD中，∠EAF=45°.

结论：

（1）EF=BE+DF；（旋转全等、对称全等）

（2）Rt△ECF的周长=2AB；

（3）△ABE的面积+△ADF的面积=△AEF的面积；

（4）AQ=AB；

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条件：在正方形ABCD中，∠EAF=45°.

结论：

（5）△AOM∼△ADF,△AON∼△ABE；（相似比1:根号2）

（6）△AMN的面积+四边形MNFE的面积=△AEF面积的一半；

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条件：在正方形ABCD中，∠EAF=45°.

结论：（7）△ANE,△AMF为等腰直角三角形.

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条件：在正方形ABCD中，∠EAF=45°.

结论：（8）A、D、F、E四点共圆，A、B、E、N四点共圆，M、N、F、C、E五点共圆.

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条件：在正方形ABCD中，∠EAF=45°.

结论：（9）△ANM∼△DNF∼△BEM∼△AEF∼△DAM∼△BNA.

模型4 等腰直角三角形半角模型

条件：Rt△ABC中，AC=BC,∠ECF=45°.

结论：△BCF≅△ACP(旋转全等),△PCE≅△FCE（对称全等），

  .

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条件：Rt△ABC中，AC=BC,∠ECF=45°.

结论：△ACE≅△BCQ(旋转全等),△ECF≅△QCF（对称全等），

  .

相似模型

模型1 链接：A字型相似

链接：平行A字型相似

条件：DE∥BC

结论：△AED∼△ABC.

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非平行A字型相似

条件：∠AED=∠ACB

结论：△AED∼△ACB

模型2 链接：8字型相似

平行8字型相似

条件：AD∥BC

结论：△AOD∼△COB(上下相似)，左右不一定相似，

  (面积相等).

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非平行8字型相似

条件：∠DAC=∠CBD

结论：A、B、C、 D四点共圆

△AOD∼△BOC(上下相似)

△AOB∼△DOC(左右相似)

模型3 ⇒共边共角型相似

共边共角型是“不平行A字型”（链接：手拉手旋转型相似）的特殊情况.当D点运动到B点时即为“共边共角型”.

条件：∠OAB=∠OBC.

结论：△OBC∼△OAB.（OB是OC和OA的比例中项）

模型4 手拉手旋转型相似

条件：图①中只需CD∥AB.

结论：ΔOAC∼ΔOBD;∠AEB=∠AOB.

模型5 一线三等角

同侧型

条件：∠B=∠C=∠AED.

结论：△ABE∼△ECD.

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异侧型

条件：∠AED=∠ABF=∠DCF.

结论：△ABE∼△ECD.

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一线三等角+中点型

条件：∠B=∠C=∠AED,E为BC的中点.

结论：△ABE∼△ECD∼△AED;

AE平分∠BAD、DE平分∠ADC.

模型6 圆中的相似

圆中的8字型（相交弦定理）

结论：

△AFB∼△CFD(左右相似)；

△BDF∼△ADC(上下相似)；

AF·FD=BF·CF；

圆中8字型相似

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切割线定理

条件：AB为切线，AC为割线.

结论：△ABD∼△ACB(共边共角型相似)，

  (AB为比例中项).

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双割线定理

条件：AC、AF为割线.

结论：  .

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      在初中几何学习中，要注意概念关、语言关、画图关、推理证明关四大关。善于静中找动，实现从特殊到一般的转化。动中找静，找到运动过程中不变的数学模型或规律，再从一般到特殊，利用临界情况解决问题。动静结合，其乐无穷！解决几何问题不顺手的原因是由于对基本的模型图及结论掌握不牢固，还有常见的几何解题方法不够熟练。本公众号作者潜心研究整理初中几何学习过程中常见的几何基本模型图及结论，如有错误或更好的思路，请大家不吝赐教。

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